Thursday, June 5, 2014

Sifat Elastisas Bahan, Persamaan Gerak Harmonik, Hukum Hooke, Pegas, Gaya Pemulih, Ayunan, Periode, Frekuensi, Fase, Sudut

Pada saat Anda mengendarai motor atau mobil, pernahkah Anda merasakan guncangan ketika motor atau mobil Anda melewati lubang atau jalan yang tidak rata? Setelah kendaraan melewati lubang atau jalan yang tidak rata, kendaraan akan berguncang atau berayun beberapa kali, kemudian kendaraan Anda akan kembali berjalan dengan mulus. Tahukah Anda, mengapa peristiwa tersebut terjadi? Pada setiap kendaraan, terdapat sebuah sistem pegas elastis yang berguna untuk memperkecil efek goncangan pada kendaraan, yaitu shockbreaker. Tahukah Anda bagaimana prinsip kerja shockbreaker tersebut? Dalam hal apa sajakah sifat elastis suatu benda diaplikasikan? Bagaimanakah hubungan antara elastisitas benda dengan gerak harmonik? Agar dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, pada Bab  ini akan dibahas materi tentang elastisitas benda dan gerak harmonik sederhana.
Shockabsorber pada mobil
Gambar 1. Shockabsorber pada mobil. [1]

A. Sifat Elastis Bahan


Pada Subbab A ini, Anda akan mempelajari gaya pemulih pada pegas yang memenuhi Hukum Hooke. Anda juga akan mengetahui bahwa gaya pemulih tersebut timbul akibat sifat pegas yang elastis. Bagaimana sifat elastis benda padat secara Fisika? Tahukah Anda, besaran-besaran yang menentukan elastisitas suatu benda? Agar Anda dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, pelajarilah bahasan materi subbab berikut dengan saksama.

1. Sifat Elastis Benda Padat


Sebuah pegas atau per jika ditarik akan bertambah panjang. Jika ditekan, pegas atau per tersebut akan menjadi lebih pendek. Jika pegas atau per tersebut kemudian dilepaskan, pegas atau per akan kembali ke bentuknya semula. Benda yang memiliki sifat seperti pegas atau per disebut benda elastis. Jika benda yang terbuat dari plastisin, lilin, atau tanah liat ditekan, setelah gaya tekan dihilangkan, benda-benda tersebut tidak akan kembali ke bentuk semula.

Ada dua pengertian dasar dalam mempelajari sifat elastis benda padat, yaitu tegangan (stress) dan regangan (strain). Pembahasan mengenai keduanya diuraikan pada bagian berikut.

a. Tegangan ( r )
Sebuah batang yang mengalami tegangan
Gambar 2. Sebuah batang yang mengalami tegangan.
Gambar 2a memperlihatkan suatu batang yang luasnya A. Setiap ujung batang tersebut mengalami gaya tarik sebesar F yang sama besar dan berlawanan arah. Batang itu dikatakan mengalami tegangan. Apabila ditinjau sebuah irisan tegak lurus pada panjang batang (garis putus-putus pada Gambar 2a), tarikan oleh gaya F akan tersebar rata pada luas penampang A, seperti ditunjukkan oleh pada Gambar 2b. Oleh karena itu, tegangan didefinisikan sebagai perbandingan besar gaya F terhadap luas penampang bidang A. Secara matematis dirumuskan:
          (1-1)
dengan :

F = gaya tekan/tarik (N),
A = luas penampang yang ditekan/ditarik (m2), dan
σ = tegangan/stress (N/m2 atau pascal).

b. Regangan ( ra )
Regangan sebuah batang sepanjang l
Gambar 3. Regangan sebuah batang sepanjang l adalah D l / l0
Regangan ialah perubahan relatif ukuran atau bentuk benda yang mengalami tegangan. Gambar 3.2 memperlihatkan sebuah batang yang mengalami regangan akibat gaya tarik F. Panjang batang mula-mula adalah l0. Setelah mendapat gaya tarik sebesar F, batang tersebut berubah panjangnya menjadi l . Dengan demikian, batang tersebut mendapatkan pertambahan panjang sebesar Δl, dengan Δl = l - l0 . Oleh karena itu, regangan didefinisikan sebagai perbandingan antara pertambahan panjang benda dan panjang benda mula-mula. Secara matematis dirumuskan:
        (1-2)
dengan :

Δ l = pertambahan panjang (m),
lo = panjang mula-mula (m), dan
e = regangan (tidak bersatuan).

2. Modulus Elastisitas


Tegangan yang diperlukan untuk menghasilkan suatu regangan tertentu bergantung pada sifat bahan dari benda yang mendapat tegangan tersebut. Menurut Hooke, perbandingan antara tegangan dan regangan suatu
benda disebut modulus Young atau modulus elastisitas benda tersebut. Secara matematis, modulus elastisitas dirumuskan sebagai berikut.

          (1-3)
dengan satuan E dalam N/m2.

Menurut Hukum Hooke (bahasan mengenai Hukum Hooke ini akan Anda pelajari lebih rinci pada subbab B), gaya pemulih pada pegas yang berada di dalam batas elastisnya akan selalu memenuhi persamaan berikut.

F = -kl                    (1-4)

dengan:

k = tetapan pegas (N/m),
Δl = pertambahan panjang pegas (m), dan
F = gaya yang bekerja pada pegas (N).

Tanda minus (–) Persamaan (1–4) menyatakan arah gaya pemulih yang selalu berlawanan dengan pertambahan panjang pegas. Dari Persamaan (1–3), diperoleh :
               (1-5)
Oleh karena F = kΔl, hubungan antara tetapan pegas dan modulus Young/modulus elastisitas dapat dituliskan sebagai :
Tabel 1. Modulus Elastisitas (Harga Pendekatan)

Bahan
Modulus Young
Aluminium
0,7 × 1011 N/m2
Kuningan
0,91 × 1011 N/m2
Tembaga
1,1 × 1011 N/m2
Gelas
0,55 × 1011 N/m2
Besi
0,91 × 1011 N/m2
Timah
0,16 × 1011 N/m2
Nikel
2,1 × 1011 N/m2
Baja
2 × 1011 N/m2
Tungsten
3,6 × 1011 N/m2
Sumber: College Physics, 1983

Contoh Soal 1.

Sebuah kawat logam dengan diameter 1,25 mm dan panjangnya 80 cm digantungi beban bermassa 10 kg. Ternyata kawat tersebut bertambah panjang 0,51 mm. Tentukan:

a. tegangan (stress),
b. regangan (strain), dan
c. modulus Young zat yang membentuk kawat.

Kunci Jawaban :

Diketahui: d = 1,25 mm, = 80 cm, m = 10 kg, dan Δl = 0,51 mm.

tegangan Regangan Modulus Young

Contoh Soal 2.

Sebuah silinder yang terbuat dari baja panjangnya 10 m dan jari-jari 2 cm. Jika modulus elastisitas baja tersebut 2,0 × 1011 N/m2, berapakah tetapan gaya baja tersebut?

Kunci Jawaban :

Diketahui: l = 10 m, r = 2 cm, dan t = 2,0 × 1011 N/m2

tetapan gaya baja

B. Gerak Harmonik Sederhana


Jika suatu benda bergerak bolak-balik terhadap titik tertentu, gerak benda itu disebut bergetar. Pada subbab ini Anda akan mempelajari jenis getaran yang dinamakan gerak harmonik sederhana. Contoh gerak seperti ini, antara lain gerak benda yang digantungkan pada suatu pegas dan gerak ayunan bandul yang amplitudonya kecil.

Pada gerak harmonik sederhana, benda akan selalu bergerak bolak-balik di sekitar titik kesetimbangannya secara terus-menerus. Dengan demikian, definisi gerak harmonik sederhana adalah gerak bolak-balik benda melalui suatu titik kesetimbangan tertentu dengan banyaknya getaran benda dalam setiap sekon selalu konstan.

1. Gaya Pemulih


Gaya pemulih dimiliki oleh setiap benda elastis yang terkena gaya sehingga benda elastis tersebut berubah bentuk. Gaya yang timbul pada benda elastis untuk menarik kembali benda yang melekat padanya disebut gaya pemulih. Akibat gaya pemulih tersebut, benda akan melakukan gerak harmonik sederhana. Dengan demikian, pada benda yang melakukan gerak harmonik sederhana bekerja gaya pemulih yang selalu mengarah pada titik kesetimbangan benda.

a. Gaya Pemulih pada Pegas

Pegas adalah salah satu contoh benda elastis. Oleh karena sifat elastisnya ini, suatu pegas yang diberi gaya tekan atau gaya regang akan kembali ke keadaan setimbangnya mula-mula apabila gaya yang bekerja padanya dihilangkan. Gaya yang timbul pada pegas untuk mengembalikan posisinya ke keadaan setimbang disebut gaya pemulih pada pegas.

Gaya pemulih pada pegas banyak dimanfaatkan dalam bidang teknik dan kehidupan sehari-hari. Misalnya, pada shockbreaker kendaraan dan springbed. Di dalam shockbreaker terdapat sebuah pegas yang berfungsi meredam getaran saat roda kendaraan melewati jalanan yang tidak rata. Dengan demikian, kendaraan dapat dikendarai dengan nyaman. Demikian juga dengan springbed. Pegas-pegas yang tersusun di dalam springbed akan memberikan kenyamanan saat Anda tidur di atasnya. Bagaimanakah sifat-sifat gaya pemulih pada pegas ini apabila diuraikan secara Fisika? Agar Anda dapat memahaminya, pelajarilah bahasan materi pada subbab ini.

Tokoh Fisika :

Robert Hooke
Robert Hooke
Lukisan yang diklaim sebagai wajah Robert Hooke. [2]
Hooke lahir di Freshwater Kepulauan Wight, Inggris. Ia banyak melakukan percobaan mengenai sifat elastis benda. Salah satu teorinya yang terkenal adalah Hukum Hooke yang menjadi dasar teori elastisitas. Ia juga terkenal sebagai pembuat alat/ mesin sehingga namanya diabadikan sebagai nama sebuah versi mikroskop. Bukunya yang terkenal adalah Micrographia. (Sumber: www.all iographies.com)

1) Hukum Hooke

Jika gaya yang bekerja pada sebuah pegas dihilangkan, pegas tersebut akan kembali ke keadaannya semula. Ilmuwan yang pertama-tama meneliti tentang ini adalah Robert Hooke. Melalui percobaannya, Hooke menyimpulkan bahwa sifat elastis pegas tersebut ada batasnya dan besar gaya pegas sebanding dengan pertambahan panjang pegas. Agar Anda dapat memahami percobaan yang dilakukan Hooke dengan baik, lakukanlah kegiatan Mahir

Percobaan Fisika Sederhana 1.
Mengukur Pertambahan Panjang Pegas

Alat dan Bahan :
  1. Satu pegas dengan jarum penunjuk di ujungnya
  2. Lima beban masing-masing 50 gram
  3. Statif
  4. Penggantung beban
  5. Penggaris atau skala pengukur
Prosedur :

Mengukur Pertambahan Panjang Pegas
  1. Susunlah alat-alat percobaan seperti pada gambar.
  2. Catatlah skala yang ditunjukkan oleh jarum penunjuk saat pegas digantung tanpa beban.
  3. Gantungkanlah beban 1 pada pegas, kemudian catat skala yang ditunjukkan oleh jarum penunjuk.
  4. Ulangi langkah ke-3 dengan menambahkan beban 2, beban 3, beban 4, dan beban 5.
  5. Tuliskanlah hasil pencatatan skala yang ditunjukkan oleh jarum penunjuk ke dalam tabel.
  6. Kurangilah beban dari pegas satu per satu, kemudian tuliskan nilai skala yang ditunjukkan oleh jarum penunjuk ke dalam tabel.
  7. Hitunglah skala penunjukan rata-rata untuk setiap berat beban dan pertambahan panjang pegas yang dihasilkannya.
  8. Plot grafik pertambahan panjang pegas terhadap berat beban.
  9. Diskusikan hasil percobaan Anda kemudian laporkan kepada guru.
Berat Beban
(gram)

Penambahan Skala (cm)

Pembacaan Skala
Rata-Rata
Pertambahan
Panjang Pegas
(cm)
Penambahan
Beban
Pengurangan Beban
















Dari percobaan tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa suatu pegas apabila ditarik dengan gaya tertentu di daerah yang berada dalam batas kelentingannya akan bertambah panjang sebesar Δx. Dari hasil percobaan, juga didapatkan bahwa besar gaya pegas pemulih sebanding dengan pertambahan panjang pegas (Δx). Secara matematis, pernyataan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

F = -kΔx                       (1-6)

dengan k = tetapan pegas (N/m).

Persamaan (1–6) ini dikenal sebagai Hukum Hooke. Tanda negatif (–) diberikan karena arah gaya pemulih pada pegas selalu berlawanan dengan arah gerak pegas tersebut. Perhatikanlah grafik hubungan antara F dan Δx pada Gambar 4.
Grafik hubungan antara gaya dan pertambahan penjang pegas
Gambar 4. Grafik hubungan antara gaya dan pertambahan penjang pegas.
Dari titik O sampai dengan titik P, grafik F–Δx berbentuk garis lurus. Dalam batasan ini, pertambahan panjang pegas linear dan titik P disebut sebagai batas linearitas pegas. Dari titik P sampai dengan titik Q, pertambahan panjang pegas tidak linear sehingga F tidak sebanding dengan Δx. Namun sampai titik Q ini pegas masih bersifat elastis. Di atas batas elastis ini terdapat daerah tidak elastis (plastis). Pada daerah ini, pegas dapat putus atau tidak kembali ke bentuknya semula, walaupun gaya yang bekerja pada pegas itu dihilangkan. Hukum Hooke hanya berlaku sampai batas linearitas pegas.

Dari grafik F– Δx pada Gambar 4. juga dapat ditentukan tetapan pegas (k) pada batas linearitas pegas, yaitu:

k = F/Δx = tan α = kemiringan grafik F(-Δx)                    (1-7)

Contoh Soal 3.

Benda bermassa 4,5 kg digantungkan pada pegas sehingga pegas itu bertambah panjang sebesar 9 cm. Berapakah tetapan pegas tersebut?

Benda bermassa 4,5 kg digantungkan pada pegas
Kunci Jawaban :

Diketahui: m = 4,5 kg, g = 10 m/m2, dan Δx = 9 cm.
F = k Δx
mg = k Δx
(4,5 kg)(10 m/s2) = (k)(0,09 m)
k = (45kg / 0,09 m) = 500 N/m

Contoh Soal 4.

Sebuah pegas yang digantungkan vertikal panjangnya 10 cm. Jika pegas diberi beban 1,2 kg, pegas akan bertambah panjang menjadi 19 cm. Berapakah panjang pegas tersebut jika diberi beban 1 kg?

Kunci Jawaban :

Diketahui: x1 = 10 cm, m1 = 1,2 kg, x2 = 19 kg, dan m2 = 1 kg.
mg = k Δx → m ≈ Δx

Massa beban (m) berbanding lurus dengan pertambahan panjang (Δx) sehingga diperoleh persamaan :
x = 17,5 cm.

2) Susunan Pegas

Konstanta pegas dapat berubah nilainya, apabila pegas-pegas tersebut disusun menjadi rangkaian. Hal ini diperlukan, jika Anda ingin mendapatkan suatu nilai konstanta pegas untuk tujuan praktis tertentu, misalnya dalam merancang pegas yang digunakan sebagai shockbreaker. Besar konstanta total rangkaian pegas bergantung pada jenis rangkaian pegas, yaitu rangkaian pegas seri atau rangkaian pegas paralel.

a) Seri/Deret

Rangkaian pegas seri dengan konstanta masing-masing k1 dan k2.
Gambar 5. Rangkaian pegas seri dengan konstanta masing-masing k1 dan k2.
Perhatikanlah Gambar 5. Gaya yang bekerja pada setiap pegas adalah sebesar F. Dengan demikian, setiap pegas akan mengalami pertambahan panjang sebesar Δx1 dan Δx2. Pertambahan panjang total kedua pegas adalah Δxtotal = Δx1 dan Δx2. Menurut Hukum Hooke, konstanta pegas total rangkaian pegas yang di susun seri tersebut adalah :
Hukum Hooke, konstanta pegas total rangkaian pegas yang di susun seri(1-8)

Secara umum, konstanta total pegas yang disusun seri dinyatakan dengan persamaan :

persamaan konstanta total pegas yang disusun seri  (1-9)

dengan kn = konstanta pegas ke-n.

b) Paralel

Rangkaian pegas paralel dengan konstanta masing-masing k1 dan k2.
Gambar 6. Rangkaian pegas paralel dengan konstanta masing-masing k1 dan k2.
Gambar 6. menunjukkan dua pegas yang dirangkai secara paralel. Jika rangkaian pegas itu ditarik dengan gaya sebesar F, setiap pegas akan mengalami gaya tarik sebesar F1 dan F2  dengan Ftotal = F1 + F2  Setiap pegas juga akan mendapat pertambahan panjang sebesar Δx1 dan Δx2. Oleh karena Δx1 dan Δx2, konstanta pegas total untuk rangkaian pegas paralel menurut Hukum Hooke adalah :
konstanta pegas total untuk rangkaian pegas paralel hukum hooke (1-10)
Secara umum, konstanta total pegas yang dirangkai paralel dinyatakan dengan persamaan :

ktotal = k1 + k2 + k3 + ... + kn                         (1-11)

dengan kn = konstanta pegas ke-n.

Contoh Soal 5.

Dua pegas identik memiliki tetapan pegas 600 N/m. Tentukanlah konstanta sistem pegas jika:

a. disusun seri
b. disusun paralel

Kunci Jawaban :

Diketahui: k1 = k2 600 N/m.

konstanta sistem pegas jika disusun seri dan paralel

Contoh Soal 6.

Perhatikanlah gambar sistem pegas di bawah ini.
sistem pegas
Jika k1 = k2 = 600 N/m, k3 = 1.200 N/m, dan m = 3 kg, tentukanlah:

a. tetapan sistem pegas, dan
b. pertambahan panjang sistem pegas.

Kunci Jawaban :

Diketahui: k1 = k2 = 600 N/m, k3 = 1.200 N/m, g = 10 m/s2, dan m = 3 kg.

tetapan dan pertambahan panjang sistem pegas

Perhatikanlah ilustrasi gerakan pegas dan gaya pemulihnya yang diperlihatkan pada Gambar 7.
Sebuah pegas digantung
Gambar 7. (a) Sebuah pegas digantung tanpa beban. (b) Pegas digantung dengan beban sehingga panjang pegas bertambah sebesar Δl1. (c) Pegas digantung dengan beban dan ditarik gaya sehingga bertambah panjang sebesar Δl2.
Gambar tersebut memperlihatkan suatu pegas yang konstanta pegasnya k dan panjangnya saat belum digantungi beban adalah l. Setelah benda bermassa m digantungkan pada pegas, seperti pada Gambar 7b, pegas bertambah panjang sebesar Δl dan berada dalam keadaan setimbang. Gaya pemulih yang timbul pada pegas sama dengan berat benda, mg. Apabila pegas yang digantungi beban itu ditarik ke bawah dengan gaya sebesar F, pegas bertambah panjang sebesar Δl2, seperti terlihat pada Gambar 7c.

Pada saat ini, gaya pemulih pada pegas memenuhi hubungan sesuai Hukum Hooke F = –kΔl dengan Δl = Δl2.

Contoh Soal 7.

Pegas yang tergantung tanpa beban panjangnya 25 cm. Kemudian, ujung bawah pegas digantungi beban 100 gram sehingga panjang pegas menjadi 30 cm. Jika beban ditarik ke bawah sejauh 4 cm dan percepatan gravitasi Bumi 10 m/s2, tentukan gaya pemulih pada pegas itu.
Pegas yang tergantung tanpa beban panjangnya 25 cm
Kunci Jawaban :

Perhatikanlah gambar.

Diketahui: y = 25 cm, y1 = 30 cm, y2 = 4 cm, m = 100 g, dan g = 10 m/s2.

Pada posisi gambar (b) :

mg = ky1
(0,1 kg)(10 m/s) = k(0,05 m)
k = 20 N/m

Pada posisi gambar (c) :

F = ky2 = (20 N/m) (0,04 m) = 0,8 N

b. Gaya Pemulih pada Ayunan Matematis

Ayunan matematis atau ayunan sederhana merupakan suatu partikel massa yang tergantung pada suatu titik tetap pada seutas tali, di mana massa tali dapat diabaikan dan tali tidak dapat bertambah panjang. Contoh ayunan matematis ini adalah jam bandul.

Perhatikanlah Gambar 8a. Sebuah beban bermassa m tergantung pada seutas kawat halus kaku sepanjang dan massanya dapat diabaikan. Apabila bandul itu bergerak vertikal dengan membentuk sudut θ, seperti terlihat pada Gambar 8b, gaya pemulih bandul tersebut ialah mg sin θ. Secara matematis dapat dituliskan :

F = – mg sinθ                          (1-12)

Oleh karena :
Persamaan (3–12) dapat dituliskan sebagai berikut.
Sebuah bandul digantungkan pada kawat halus sepanjang l
Gambar 8. (a) Sebuah bandul digantungkan pada kawat halus sepanjang l . (b) Kemudian, bandul disimpangkan sejauhθ sehingga gaya pemulih bandul adalah F = -mg sinθ = -mg (y/l)
Contoh Soal 8.

Sebuah ayunan sederhana memiliki panjang tali = 40 cm dengan beban = 100 gram. Tentukanlah besar gaya pemulihnya jika benda disimpangkan sejauh 4 cm dan percepatan gravitasi di tempat itu = 10 m/s2.

Kunci Jawaban :

Diketahui: l = 40 cm, m = 100 g, y = 4 cm, dan g = 10 m/s2. Besar gaya pemulih pada ayunan adalah :

gaya pemulih pada ayunan
Contoh Soal 9.

Sebuah ayunan sederhana mempunyai panjang tali 30 cm dengan beban 200 gram. Berapa jauh benda harus disimpangkan agar besar gaya pemulihnya 0,4 N?

Kunci Jawaban :

Diketahui: l = 30 cm, m = 200 g, dan F = 0,4 N.

Besar gaya pemulih pada ayunan adalah :

gaya pemulih pada ayunan

2. Persamaan Gerak Harmonik Sederhana


a. Persamaan Simpangan Gerak Harmonik Sederhana

Persamaan gerak harmonik sederhana didapatkan dari proyeksi gerak melingkar beraturan pada sumbu-x atau sumbu-y. Perhatikanlah Gambar 9 yang memperlihatkan sebuah kereta mainan sedang bergerak melingkar di jalurnya.
Rangkaian alat sederhana yang memperlihatkan hubungan antara GMB dan gerak harmonik sederhana. Saat kereta mainan bergerak di jalur melingkar dengan kecepatan tetap, bayangannya akan bergerak harmonik sederhana.
Gambar 9. Rangkaian alat sederhana yang memperlihatkan hubungan antara GMB dan gerak harmonik sederhana. Saat kereta mainan bergerak di jalur melingkar dengan kecepatan tetap, bayangannya akan bergerak harmonik sederhana.
Dalam hal ini, kereta mainan tersebut bergerak melingkar beraturan dan bayangan kereta mainan yang terbentuk akibat cahaya lampu yang diarahkan padanya akan bergerak bolak-balik. Perhatikanlah Gambar 10.
Proyeksi titik P yang bergerak melingkar beraturan pada sumbu-x adalah x0 cosθ .
Gambar 10. Proyeksi titik P yang bergerak melingkar beraturan pada sumbu-x adalah x0 cosθ .
Apabila kereta mainan itu diumpamakan sebagai titik P yang bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan tetap v0 dan jari-jari lingkaran R = x0, titik P tersebut akan bergerak bolakbalik di antara +x0 dan –x0. Posisi titik P menurut sumbux dinyatakan sebagai

x = x0 cosθ                          (1-13)

Di kelas X, Anda telah mempelajari bahwa periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu putaran penuh. Oleh karena θ= 2π maka waktu yang dibutuhkan oleh titik P untuk bergerak dari titik +x0 hingga ke posisinya digambar adalah :
                         (1-14)
Dengan demikian, hubungan antara sudut dan waktu dapat juga dituliskan sebagai :
                           (1-15)

Apabila Persamaan (1–15) disubstitusikan ke Persamaan (1–14) didapatkan :
   (1-16)

Anda telah mengetahui bahwa frekuensi berbanding terbalik dengan periode

Anda telah mengetahui bahwa frekuensi berbanding terbalik dengan periode :

Dengan demikian, Persamaan (1–16) dapat ditulis sebagai :

x = x0 cos 2πft     (1-17)

Oleh karena :

ω (kecepatan sudut), Persamaan (1–16) dan Persamaan (1–17) dapat dituliskan :

x = x0 cosω t           (1-18)

dengan:

x = simpangan getaran benda (m),
x0 = jari-jari lingkaran atau amplitudo atau simpangan terjauh getaran benda (m),
ω = kecepatan sudut (rad/s), dan
t = waktu getar (sekon).

Persamaan-persamaan yang telah diuraikan, yaitu Persamaan (1–13) sampai Persamaan (1–18) menyatakan gerak melingkar benda yang diproyeksikan terhadap sumbu-x. Apabila gerak melingkar benda diproyeksikan menurut sumbu-y, persamaan posisi benda dinyatakan sebagai y = y0 sinθ sehingga diperoleh persamaan simpangan gerak harmonik sederhana :

y = y0 sinω t                              (1-19)

Gambar 11. memperlihatkan hubungan antara simpangan (y) terhadap waktu (t) dari persamaan simpangan y = A sin ω t. Dari grafik tersebut dapat diketahui bahwa nilai simpangan (ymaks) = A, yaitu amplitudo simpangan tersebut.
Proyeksi titik P terhadap sumbu-y adalah y = y0 sinθ
Gambar 11. Proyeksi titik P terhadap sumbu-y adalah y = y0 sinθ.
b. Persamaan Kecepatan Gerak Harmonik

Anda telah mempelajari bahwa kecepatan adalah adalah turunan pertama dari fungsi posisi. Hal ini juga dalam gerak harmonik. Kecepatan gerak harmonik. Secara matematis, dituliskan sebagai berikut :
Kecepatan gerak harmonik  (1-20)
dengan:

A = amplitudo/simpangan maksimum getaran (m),
ω = kecepatan sudut (rad/s), dan
t = waktu getar (sekon).

Apabila persamaan simpangan gerak harmonik dinyatakan dalam arah sumbu-x, persamaan kecepatan gerak harmoniknya adalah :
persamaan kecepatan gerak harmonik    (1-21)
Nilai kecepatan maksimum untuk Persamaan (1–20) dan (1–21) diperoleh saat nilai cosω t atau sinω t = 1 sehingga didapatkan nilai kecepatan maksimum gerak harmonik adalah :

vmaks = Aω                 (1-22)

Oleh karena sin2 ωt + cos2 ωt = 1 dan A2 cos2 ωt = A2 – A2 sin2 ωt, kecepatan getar dapat juga dihitung dengan rumus lain, yaitu :

kecepatan getar
c. Persamaan Percepatan Gerak Harmonik

Persamaan percepatan gerak harmonik dapat ditentukan dari turunan pertama persamaan kecepatan gerak harmonik terhadap waktu. Secara matematis, penulisannya adalah sebagai berikut.
persamaan kecepatan gerak harmonik terhadap waktu    (1-24)
Oleh karena A sinω t = y, persamaan percepatan gerak harmonik dapat dituliskan menjadi :

a = –ω2y                       (1-25)

Nilai percepatan maksimum untuk Persamaan (1–24) diperoleh saat sinω t = 1 sehingga nilai percepatan maksimum gerak harmonik dinyatakan sebagai :

amaks = –Aω2                    (1-26)

Tanda negatif (–) pada persamaan percepatan gerak harmonik menunjukkan bahwa arah percepatan gerak selalu menuju ke titik kesetimbangannya, yaitu y = 0.

Catatan Fisika :
Shockbreaker
shock breaker

Pegas dan fluida kental yang terdapat pada shock breaker kendaraan menimbulkan efek redaman terhadap gerak harmonik yang terjadi saat kendaraan berguncang. Redaman ini dibutuhkan agar kendaraan tidak berosilasi selamanya.

Contoh Soal 10.

Sebuah titik materi melakukan gerak harmonik dengan amplitudo 5 cm. Berapakah simpangannya pada saat sudutnya 30°?

Kunci Jawaban :

Diketahui: A = 5 cm dan θ = 30°.

y = A sinω t = 5 sin 30° = (5 cm) (1/2) = 2,5 cm.

Contoh Soal 11 :

Sebuah benda bermassa 2 gram digetarkan menurut persamaan y = 0,05 sin 300t (semua satuan dalam SI). Tentukan kecepatan dan percepatan benda pada saat t = 0,6 s.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m = 2 g, y = 0,05 sin 300t, dan t = 0,6 s.

kecepatan dan percepatan benda

Contoh Soal 12 :

Sebuah partikel bergetar harmonik dengan periode 5 sekon dan amplitudo 7,5 cm. Berapakah kelajuan partikel pada saat berada 4,5 cm dari titik setimbangnya?

Kunci Jawaban :

Diketahui: T = 5 sekon, A = 7,5 cm, dan y = 4,5 cm.

kelajuan partikel

Contoh Soal 13 :

Sebuah titik melakukan gerak harmonik sederhana dengan periode T = 60 ms. Berapakah waktu minimum yang diperlukan titik agar simpangannya sama dengan setengah amplitudonya?

Kunci Jawaban :

Diketahui T = 60 ms.
Gunakan persamaan simpangan untuk menentukan waktu t agar y = 1/2 A.

Waktu minimum yang diperlukan titik agar simpangannya setengah amplitudo

Contoh Soal 14 :

Sebuah gerak harmonik sederhana memiliki amplitudo A = 6 cm. Berapakah simpangan getarnya ketika kecepatannya 1/2 kali kecepatan maksimum?

Kunci Jawaban :
Simpangan getar pada saat v
Catatan Fisika :

Jam Pendulum
Jam Pendulum

Pendulum yang terdapat pada jam merupakan salah satu contoh gerak harmonik. Ayunan matematis pendulum tersebut berfungsi untuk mengatur gerak jarum jam. Anda pun dapat merancang jam pendulum Anda sendiri dengan memanfaatkan bahan-bahan yang terdapat di sekitar lingkungan Anda dan memahami konsep gerak harmonik sederhana ini.

3. Fase dan Sudut Fase Gerak Harmonik Sederhana


Pada persamaan gerak harmonik sederhana dikenal beberapa istilah, seperti fase dan sudut fase. Secara fisis, fase adalah kedudukan suatu benda dilihat dari arah getar dan simpangannya pada suatu saat tertentu. Secara matematis, pernyataan ini dituliskan :
     (1-27)
gelombang sinus
Gambar 12. Sebuah gelombang sinus dengan simpul-simpulnya pada titik A, C, E, G, dan I, serta titik-titik puncaknya pada titik B, D, F, dan H.
Perhatikanlah Gambar 12. Titik A dan titik E serta titik B dan titik F dikatakan memiliki fase yang sama karena simpangannya sama dan arah getarnya sama. Syarat agar dua titik memiliki fase yang sama adalah :

Δθ = n. 2 π ; n = 0, 1, 2, ... atau
Δϕ = n ; n = 0, 1, 2, ...

Titik A dan titik C, titik B dan titik D dikatakan berlawanan fase karena arah getarnya berlawanan. Syarat agar dua titik memiliki fase yang berlawanan adalah :

Δθ = (2n + 1) π ; n = 0, 1, 2, ... atau
Δϕ = (2n + 1) ; n = 0, 1, 2, ...

Apabila fase dan sudut fase getaran gerak harmonik diperhitungkan, akan didapatkan sebuah persamaan umum gerak harmonik sederhana yang dituliskan sebagai berikut.

y = A sin (ωt + θ0)             (1-28)

dengan θ 0 = sudut fase awal getaraan (rad). Oleh karena itu, dari Persamaan (3–28) dapat dinyatakan sudut fase :
    (1-29)
Contoh Soal 15 :

Dua buah titik partikel melakukan gerak harmonik sederhana pada satu garis lurus. Kedua titik partikel awalnya bergerak dari titik kesetimbangan pada saat dan arah yang sama. Periode masing-masing titik partikel adalah T1 = 1/3 sekon dan T2 = 1/4 sekon. Tentukan:

a. sudut fase θ1 dan θ2,
b. fase ϕ1 dan ϕ2, dan
c. beda fase Δϕ kedua titik partikel setelah bergerak selama t = 1/12 sekon.

Jawab :
sudut fase Fase getaran Beda fase kedua titik partikel
4. Periode dan Frekuensi Gerak Harmonik Sederhana

Setiap benda yang melakukan gerak harmonik sederhana memiliki besaran periode dan frekuensi. Berikut akan dibahas periode dan frekuensi pada getaran pegas dan ayunan sederhana.

a. Periode dan Frekuensi pada Getaran Pegas
Suatu pegas melakukan gerak harmonik di sekitar titik setimbangnya
Gambar 13. Suatu pegas melakukan gerak harmonik di sekitar titik setimbangnya
Perhatikanlah Gambar 13. Periode (T) adalah waktu yang dibutuhkan pegas untuk melakukan satu kali gerak bolak-balik dari O – A – O – B – O, sedangkan frekuensi ( f ) adalah kebalikan dari periode.
                                 (1-30)
                        (1-31)
Periode dan frekuensi getaran pegas diperoleh dari persamaan gaya pemulih dan Hukum Kedua Newton tentang gerak, yaitu :

F = –ky = ma

Oleh karena pada gerak harmonik y = A sinω t dan a = –ω2y, persamaan dituiskan menjadi

–kA sinω t = m( –ω2y)
k = mω2 = m (2πf )2

sehingga diperoleh persamaan :

     (1-32)

    (1-33)
dengan:

m = massa beban pegas (kg), dan
k = konstanta pegas (N/m).

Contoh Soal 16 :

Sebuah pegas yang panjangnya 16 cm digantungkan vertikal. Kemudian, ujung bawahnya diberi beban 100 gram sehingga panjangnya bertambah 4 cm. Beban ditarik 3 cm ke bawah, kemudian dilepas hingga beban bergetar harmonik. Jika g = 10 m/s2,. tentukan:

a. tetapan pegas, dan
b. periode dan frekuensi getarannya.

Kunci Jawaban :

Diketahui: l = 16 cm, m = 100 g, dan y = 4 cm.

tetapan pegas periode dan frekuensi getaran
b. Periode dan Frekuensi pada Ayunan Sederhana

Periode ayunan adalah waktu yang dibutuhkan ayunan itu untuk melakukan satu kali gerak bolak-balik dari titik P – O – Q – O – P, seperti terlihat pada Gambar 14.
Ayunan bandul sederhana
Gambar 14. Ayunan bandul sederhana yang bergetar harmonik di sekitar titik kesetimbangannya.
Sama halnya dengan getaran pada pegas, periode dan frekuensi pada ayunan sederhana diperoleh dari persamaan gaya pemulih dan Hukum Kedua Newton, yaitu :

periode dan frekuensi pada ayunan sederhana
sehingga diperoleh persamaan periode dan frekuensi pada ayunan sederhana sebagai berikut.
            (1-34)
   (1-35)
dengan :

l = panjang tali (m), dan
g = percepatan gravitasi (m/s2).

Contoh 17 :

Sebuah ayunan sederhana melakukan gerak harmonik sederhana dengan panjang tali 40 cm. Jika g = 10 m/s2, tentukanlah periode dan frekuensi ayunan tersebut.

Kunci Jawaban :

Diketahui : = 40 cm dan g = 10 m/s2.

periode dan frekuensi ayunan
Contoh Soal 18 :

Beban 100 gram digantungkan pada sebuah ayunan sederhana, kemudian disimpangkan sehingga bergerak bolak-balik dengan frekuensi 5 Hz. Jika panjang tali ayunan tersebut dikurangi sebesar 3/4-nya, tentukanlah frekuensinya.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m = 100 g, f = 5 Hz, dan l2 = 3/4 l1 .

Hubungan frekuensi dan panjang tali dirumuskan :
Hubungan frekuensi dan panjang tali
Contoh Soal 19.

Sebuah ayunan sederhana membuat 30 ayunan dalam 1 menit. Jika g = 10 m/s2 dan π2 = 10, berapakah panjang tali ayunan tersebut?

Kunci Jawaban :

Diketahui: banyak ayunan = 30, t = 1 menit, g = 10 m/s2, dan π2 = 10.

Frekuensi ayunan adalah banyaknya ayunan setiap sekon sehingga :

f = (30 ayunan / 60detik) = 1/2 Hz

Frekuensi ayunan untuk menentukan panjang tali l adalah :

sehingga :

panjang tali ayunan
Contoh Soal 20 :

Pada getaran harmonik, jika massa beban yang digantung pada ujung bawah pegas 1 kg, periode getarannya 2 sekon. Jika massa beban ditambah menjadi 4 kg, periode getaran menjadi ....

a. 1/4 sekon
b. 1/2 sekon
c. 1 sekon
d. 4 sekon
e. 8 sekon

Kunci Jawaban :

Getaran harmonik pada pegas :
periode getaran

Anda sekarang sudah mengetahui Sifat Elastisas Bahan dan Persamaan Gerak Harmonik dan Hukum Hooke. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Saripudin, A., D. Rustiawan K., dan A. Suganda. 2009. Praktis Belajar Fisika 1 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam. Pusat Perbukuan Departemen Nasional, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 234.

Referensi Lainnya :

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Shock_absorber

[2] http://id.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke

Hewitt, Paul G. 1998. Conceptual Physics, Eight Edition. New York: Addison Wesley Longman.

No comments:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.

Search