Tuesday, June 3, 2014

Contoh Soal Peluang Kejadian Majemuk Matematika Statistika, Rumus, Teori, Pengertian, Jawaban, Konsep, Komplemen, Gabungan, Saling Lepas Bebas

Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, Anda akan mengambil 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk.

1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Diketahui, A adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan A’ adalah kejadian bukan A yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Kejadian bukan A atau A’ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P(A), dan peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P(bukan A) atau P(A’).
diagram Venn ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A
Gambar 1. diagram Venn ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A.
Amati diagram Venn pada Gambar 1. Gambar 1. menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian A dan kejadian bukan A. Peluang ruang sampel sama dengan 1 sehingga :

P (A) + P (bukan A) = 1

atau,

P (bukan A) = 1 – P (A)

Contoh Soal 1 :

Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut.

a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03.
b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25.

Jawaban :

a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api datang tepat waktu adalah (1 – 0,03) = 0,97.
b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 – 0,25) = 0,75.

2. Peluang Gabungan Dua Kejadian yang Saling Lepas

Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, A adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan B adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian A dan B merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong.

Diketahui, himpunan A melambangkan kejadian A dan himpunan B melambangkan kejadian B. Apabila P(A) dan P(B) setiap peluang kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang gabungan 2 kejadian tersebut yang dinyatakan oleh P(A  B) adalah P(A) + P(B) – P(A  B). Oleh karena A ∩ B = Ø maka tentunya P(A  B) = 0 sehingga P(A  B) = P(A) + P(B)

Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.

P(A  B) = P(A) + P(B)

Artinya, pada dua kejadian A dan kejadian B yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.

Ingatlah :

A dan B saling lepas
P(A  B) = P(A) + P(B)
A dan B tidak saling lepas
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)

Contoh Soal 2 :

Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan Ingatlah kejadian A adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian B adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. Apakah kejadian A dan B saling lepas?

Pembahasan :

Pada kartu remi terdapat 52 kartu. Banyak kartu merah dan hitam masing-masing 26 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian A dan B saling lepas.

Contoh Soal 3 :

Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang logam, tentukan peluang munculnya:
a. mata dadu < 3 atau angka;
b. mata dadu prima genap atau gambar;

Jawaban :

a. Ruang sampel pelemparan dadu = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Misalkan, A = kejadian muncul dadu < 3 sehingga : P(A) = 2/6 = 1/3

Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = {A, G}.

Misalkan, B = kejadian muncul angka sehingga : P(B) = ½
peluang munculnya mata dadu angka lebih dari 3
b. A = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga : P(A) = 1/6

B = kejadian muncul gambar sehingga P(B) = ½.
peluang munculnya mata dadu prima genap gambar
Contoh Soal 3 :

Dua puluh buah kartu diberi nomor 1 sampai 20. Kemudian, dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari:

a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6;
b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 15;

Penyelesaian :

a. • Peluang terambil kartu nomor bilangan genap adalah P(genap) = 10/20.

• Peluang terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 adalah :

P(kelipatan 6) = 3/20.

Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor bilangan kelipatan 6 adalah :

P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6) = (10/20) + (3/20) = 13/20

b. • Peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil adalah :

P(ganjil) = 10/20.

• Peluang terambil kartu nomor 15 adalah P(15) = 1/20.

Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau nomor 15 adalah :

P(ganjil atau 15) = P(ganjil) + P(15) = (10/20) + (3/20) = 13/20.

Contoh Soal 4 :

Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah ....

Jawaban :

n(S) = 40; n(M) = 25; n(I) = 21;
n(M  I) = 9
n(M  I) = n(M) + n(I) – n(M  I)
= 25 + 21 – 9 = 37
Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA
3. Peluang Dua Kejadian yang Saling Bebas

a. Kejadian Melempar Dua Mata Uang secara Bersamaan

Dalam pelemparan dua keping uang logam secara serempak, apabila G1 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G1. Begitu pula apabila A1 menyatakan kejadian muncul permukaan angka pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dipengaruhi oleh A1.

Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan dinamakan dua kejadian yang saling bebas.

Misalkan, G2 adalah kejadian muncul permukaan gambar pada mata uang kedua dan A2 adalah kejadian muncul permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah :

{(A1, A2), (A1, G2), (G1, A2), (G1, G2)}

Peluang muncul permukaan gambar pada mata uang pertama sama dengan peluang muncul permukaan gambar pada mata uang kedua sehingga :

P (G1) = P (G2) = ½

Peluang munculnya permukaan angka pada mata uang pertama sama dengan peluang munculnya permukaan angka pada mata uang kedua sehingga :

P (A1) = P (A2) = ½

Peluang munculnya A1 dan munculnya A2


= P(A1 dan A2) = P (A1 ∩ A2)
= P(A1) × P(A2)
= (½) x (½) = 1/4

Jadi,

P(A1 dan A2) = P(A1) × P(A2) = ¼ 

Dengan cara yang sama, coba Anda tunjukkan:


P(A1 dan G2) = P(A1) × P(G2) = ¼

P(G1 dan A2) = P(G1) × P(A2) = ¼  

P(G1 dan G2) = P(G1) × P(G2) = ¼

b. Kejadian Mengambil Bola dari Dalam Sebuah Tas

Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. Anda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang saling bebas stokastik karena pengambilan bola pertama tidak mempengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut.

• Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5/12 dan P(biru) = 7/12.

• Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}.

P(hijau dan hijau) = P(hijau) × P(hijau) = (5/12) x (5/12) = 22/144

P(hijau dan biru) = P(hijau) × P(biru) = (5/12) x (7/12) = 35/144

P(biru dan hijau) = P(biru) × P(hijau) = (7/12) x (5/12) = 35/144

P(biru dan biru) = P(biru) × P(biru) = (7/12) x (7/12) = 49/144

Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut :

Jika dua kejadian A dan B saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P (A  B) adalah :

P(A  B)=P(A) x P(B)

Ingatlah :

Dua kejadian yang saling bergantung dinamakan juga dengan kejadian bersyarat.

Contoh Soal 5 :

Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilangan :

a. kelipatan 4 dan nomor 9;
b. ganjil dan genap.

Penyelesaian :

a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah :

P (kelipatan 4) = 2/14 , peluang bola bernomor 9 adalah P(9) = 1/11.

Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9) = P (kelipatan 4) × P(9) = (2/11) x (1/11) = 2/121

b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah

P (ganjil) = 6/11, peluang bola bernomor bilangan genap adalah P(genap) = 5/11.

Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah :

P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap) = (6/11) x (5/11) = 30/121

Contoh Soal 6 :

Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola tersebut bernomor bilangan berikut ini.

a. Genap, kemudian ganjil.
b. Ganjil, kemudian genap.
c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8.

Penyelesaian :

a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalah :

P(genap) = 5/11

Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor bilangan ganjil adalah :

P(ganjil | genap) = 6/10. 

Jadi, P(bola bernomor bilangan genap kemudian ganjil) adalah

P(genap) × P(ganjil | genap) = (5/11) x (6/10) = 30/110 = 6/22.

b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalah :

P(kelipatan 3) = 3/11.

Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 8 adalah :

P(8 | kelipatan 3) = 1/10.

Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalah

P (kelipatan 3) × P (8 | kelipatan 3) = (3/11) x (1/10) = 3/110.

c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) = 2/11.

Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 11 adalah :

P(11 | kelipatan 4) = 1/10. 

P(kelipatan 4 kemudian 11) adalah :

P( kelipatan 4) × P(11 | kelipatan4) = (2/11) x (1/10) = 2/110 = 1/55.

Anda sekarang sudah mengetahui Kejadian Majemuk. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

No comments:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.

Search