Penyajian Data dan Datum, Terkecil, Terbesar, Populasi dan Sampel, Pengumpulan, Kuartil Bawah Atas, Median, Jangkauan, Antarkuartil, Simpangan, Pencilan, Outlier, Contoh Soal, Jawaban, Pengertian, Perbedaan, Matematika

Leave a Comment
Statistika berkaitan erat dengan data. Oleh karena itu, sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai data.

1. Pengertian Datum dan Data

Misalkan, hasil pengukuran berat badan 5 murid adalah 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg. Adapun tingkat kesehatan dari kelima murid itu adalah baik, baik, baik, buruk, dan buruk. Data pengukuran berat badan, yaitu 43 kg, 43 kg, 44 kg, 55 kg, dan 60 kg disebut fakta dalam bentuk angka. Adapun hasil pemeriksaan kesehatan, yaitu baik dan buruk disebut fakta dalam bentuk kategori. Selanjutnya, fakta tunggal dinamakan datum. Adapun kumpulan datum dinamakan data.

2. Pengertian Populasi dan Sampel

Misal, seorang peneliti ingin meneliti tinggi badan rata-rata siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Kemudian, ia kumpulkan data tentang tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau. Data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau disebut populasi. Namun, karena ada beberapa kendala seperti keterbatasan waktu, dan biaya, maka data tinggi badan seluruh siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau akan sulit diperoleh. Untuk mengatasinya, dilakukan pengambilan tinggi badan dari beberapa siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau yang dapat mewakili keseluruhan siswa SMA di Kabupaten Lubuklinggau.

Data tersebut dinamakan data dengan nilai perkiraan, sedangkan sebagian siswa SMA yang dijadikan objek penelitian disebut sampel. Agar diperoleh hasil yang berlaku secara umum maka dalam pengambilan sampel, diusahakan agar sampel dapat mewakili populasi. Berikut ini skema pengambilan sampel dari populasi.
populasi dan sampel


3. Pengumpulan Data

Menurut sifatnya, data dibagi menjadi 2 golongan, yaitu sebagai berikut.

1) Data kuantitatif adalah data yang berbentuk angka atau bilangan. Data kuantitatif terbagi atas dua bagian, yaitu data cacahan dan data ukuran.

a) Data cacahan (data diskrit) adalah data yang diperoleh dengan cara membilang. Misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.
b) Data ukuran (data kontinu) adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan murid.

2) Data kualitatif adalah data yang bukan berbentuk bilangan. Data kualitatif berupa ciri, sifat, atau gambaran dari kualitas objek. Data seperti ini disebut atribut. Sebagai contoh, data mengenai kualitas pelayanan, yaitu baik, sedang, dan kurang.

Cara untuk mengumpulkan data, antara lain adalah melakukan wawancara, mengisi lembar pertanyaan (questionery), melakukan pengamatan (observasi), atau menggunakan data yang sudah ada, misalnya rataan hitung nilai rapor.

Kerapkali data yang Anda peroleh merupakan bilangan desimal. Agar perhitungan mudah dilakukan, bilangan tersebut dibulatkan. Adapun aturan pembulatan sebagai berikut.

1) Jika angka yang dibulatkan lebih dari atau sama dengan 5, pembulatan dilakukan dengan menambah 1 angka di depannya.
2) Jika angka yang akan dibulatkan kurang dari 5, angka tersebut dianggap tidak ada atau nol. Sekarang, coba cari di buku petunjuk penggunaan atau tanya ke kakak kelas cara membulatkan bilangan dengan menggunakan kalkulator ilmiah.

4. Datum Terkecil, Datum Terbesar, Kuartil Bawah, Median, dan Kuartil Atas

Data berikut adalah tinggi badan 12 anak (dalam cm).

164
166
170
167
171
172
162
164
168
165
163
160

Dari data tersebut Anda dapat mengetahui hal-hal berikut.

a) Anak yang paling pendek tingginya 160 cm.
b) 50% dari kedua belas anak itu tingginya tidak lebih dari 165,5 cm.
c) 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.

Untuk mengetahui hal-hal tersebut diperlukan statistik lima serangkai, yaitu data statistik x1, Q1, Q2, Q3, dan xn dengan x1 datum terkecil, Q1 = kuartil bawah, Q2 = median, Q3 = kuartil atas, dan xn datum terbesar (xdan xn dapat diketahui).

Untuk menentukan datum terkecil dan datum terbesar Anda perlu menyusun data tersebut dalam suatu urutan berdasarkan nilainya, yaitu sebagai berikut.

160
162
163
164
164
165
166
167
168
170
171
172

Amati bahwa setelah data diurutkan Anda dapat menemukan datum terkecil dan datum terbesar dengan mudah, yaitu datum terkecil = 160 cm dan datum terbesar = 172 cm. Jika data yang telah diurutkan itu dibagi menjadi 2 bagian yang sama, diperoleh urutan berikut:
median
Tampak bahwa median membagi data ini menjadi dua bagian yang sama, yaitu enam datum kurang dari median dan enam datum lebih dari median. Median untuk data tersebut adalah Q2 = (165 + 166)/2 = 165,5. Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 50% dari data itu tingginya tidak lebih dari 165,5 cm. Bagaimana menentukan median jika banyak data ganjil?

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus menentukan median? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut merupakan hal khusus dari hal umum berikut.

Misalkan diketahui data terurut :

x1, x2, x3, ..., xn

dengan n = banyak datum.

1) Untuk n genap maka mediannya adalah :
median n genap
2) Untuk n ganjil maka mediannya adalah :
median n ganjil
Jika data yang telah diurutkan dibagi menjadi 4 bagian yang sama, diperoleh :
median kuartil bawah atas Q1 Q2 Q3

Tampak bahwa kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, yaitu tiga datum kurang dari kuartil bawah (Q1), tiga datum antara Q1 dan Q2, tiga datum antara Q2 dan kuartil atas (Q3), dan tiga datum lebih dari Q3. Kuartil bawah dan kuartil atas dapat ditentukan, yaitu :

Q1 = (163 + 164)/2 = 163,5 dan Q3 = (168 + 170)/2 = 169.

Dengan demikian, Anda dapat mengatakan bahwa 25% dari kedua belas anak itu tingginya lebih dari 169 cm.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menemukan langkah-langkah cara menentukan kuartil? Cobalah tentukan langkah-langkahnya dengan menggunakan kata-kata Anda sendiri.

Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan kuartil.

1. Data diurutkan dari datum terkecil ke datum terbesar.

x1, x2, x3, ..., xn

2. Tentukan kuartil kedua atau median (Q2) dengan membagi data menjadi dua bagian sama banyak.
3. Tentukan kuartil bawah (Q1) dengan membagi data di bawah Q2 menjadi dua bagian sama banyak.
4. Tentukan kuartil atas (Q3) dengan membagi data di atas Q2 menjadi dua bagian sama banyak.

Contoh Soal 1 :

Tentukan datum terkecil, datum terbesar, median, kuartil bawah, dan kuartil atas dari data berikut:

a. 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4
b. 9, 8, 7, 9, 4, 6, 5, 4

Penyelesaian :

a. Banyak data (n) sama dengan 7. Jika data ini diurutkan dari yang terkecil, diperoleh :

Nomor urut data
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
Nilai data
4
4
5
6
7
8
9


• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x7 = 9.
• Median merupakan datum tengah setelah data diurutkan.

Jadi, median (Q2) = x4 = 6. Jika menggunakan rumus :
median n ganjil 7
• Kuartil bawah (Q1)

Q1 = median dari 4 4 5
Jadi, Q1 = 4 (nilai paling tengah)

• Kuartil atas (Q3)

Q3 = median dari 7 8 9
Jadi, Q2 = 8 (nilai paling tengah)

b. Banyak datum (n) sama dengan 8. Jika data diurutkan, diperoleh :

Nomor urut data
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
Nilai data
4
4
5
6
7
8
9
9

• Datum terkecil adalah x1 = 4.
• Datum terbesar adalah x8 = 9.

Median tidak dapat ditentukan dengan cara seperti soal (a). Median untuk data genap (n = 8) ditentukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

Dengan cara yang sama, coba Anda tentukan Q1 dan Q2. Jika Anda menyelesaikannya dengan benar, diperoleh Q1 = 4,5 dan Q3 = 8,5.

Contoh Soal 2 :

Hasil dari suatu pengamatan adalah sebagai berikut.

12 11 9 8 9 10 9 12

Median dari pengamatan

tersebut adalah ....

Pembahasan :

Data diurutkan dari yang terkecil.

8 9 9 9 10 11 12 12

Mediannya adalah (9 + 10)/2 = 9,5

5. Jangkauan Data, Jangkauan Antarkuartil, dan Simpangan Kuartil

a. Jangkauan Data

Jangkauan data atau disebut juga rentang data adalah selisih antara datum terbesar dan datum terkecil. Jika jangkauan data dinotasikan J, datum terbesar xn, dan datum terkecil x1 maka :

J = xn – x1

Jangkauan antarkuartil atau disebut juga rentang interkuartil adalah selisih kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jika jangkauan antarkuartil dinotasikan JK maka :

JK = Q3 – Q1

Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil diperlihatkan pada Gambar 1.
Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil
Gambar 1. Perbedaan antara jangkauan data dan jangkauan antarkuartil.
Dari gambar tersebut tampak bahwa jangkauan antarkuartil merupakan ukuran penyebaran data yang lebih baik daripada rentang sebab JK mengukur rentang dari 50% data yang di tengah. Selain jangkauan dan jangkauan antarkuartil, dikenal pula simpangan kuartil atau rentang semi-interkuartil. Simpangan kuartil (SK) adalah setengah dari jangkauan antarkuartil (JK).

SK = ½ JK = ½ (Q3 – Q1)

Contoh Soal 3 :

Seorang peneliti mengambil masing-masing 1 kg air dari 20 sungai yang berbeda untuk diuji kadar garamnya. Hasil pengujian (dalam mg) adalah :

193
282
243
243
282
214
185
128
243
159
218
161
112
131
201
132
194
221
141
136

Dari data tersebut tentukan:

a. jangkauan data;
b. jangkauan antarkuartil;
c. simpangan kuartil.

Jawaban :

Data diurutkan hasilnya sebagai berikut:

Nomor urut data
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
Nilai data
112
128
131
132
136
141
159
161
185
193


Nomor urut data
x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
x19
x20
Nilai data
194
201
214
218
221
243
243
243
282
282


• Datum terkecil (x1) adalah 112.
• Datum terbesar (xn) adalah 282.
• Median (Q2) = ½ (x10 + x11) = (193 + 194) = 193,5.
• Kuartil bawah (Q1)
= median dari :

x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
112
128
131
132
136
141
159
161
185
193

½ (x5 + x6) = ½ (136 + 141) = 138,5.

• Kuartil atas (Q3)
= median dari :

x11
x12
x13
x14
x15
x16
x17
x18
x19
x20
194
201
214
218
221
243
243
243
282
282

½ (x15 + x16) = ½ (221 + 243) = 232

a. Jangkauan data (J)

J = xn – x1 = 282 – 112 = 170

b. Jangkauan antarkuartil (JK)

JK = Q3 – Q1 = 232 – 138,5 = 93,5

c. SK = ½ JK = ½ (93,5) = 46,75.

b. Pencilan (Outlier)

Nilai statistik jangkauan (J) dan jangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk memperoleh gambaran tentang penyebaran data dengan cepat. Untuk keperluan tersebut didefinisikan satu langkah sebagai beriku

Satu langkah (L) adalah satu setengah kali panjang jangkauan antarkuartil (JK). Secara matematis, ditulis L = 1 ½ JK

Nilai yang letaknya satu langkah di bawah Q1 dinamakan pagar dalam (PD). Adapun nilai yang letaknya satu langkah di atas Q3 dinamakan pagar luar (PL)

PD = Q1 – L dan PL = Q3 + L

Semua data yang nilainya kurang dari pagar dalam atau lebih dari pagar luar disebut pencilan. Pencilan adalah datum yang memiliki karakteristik berbeda dari datum lainnya. Dapat dikatakan bahwa pencilan merupakan datum yang tidak konsisten dalam kumpulan data.

Contoh Soal 4 :

Hasil tes matematika dari 20 siswa tercatat sebagai berikut.

70, 68, 71, 68, 66, 73, 65, 74, 65, 64, 78, 79, 61, 81, 60, 97, 44, 64, 83, 56.

Jika ada data pencilan, tentukan datum tersebut.

Pembahasan :

Data setelah diurutkan menjadi :

pencilan
• Q1 = (64 + 64)/2 = 64

• Q2 = (68 + 68)/2 = 68

• Q3 = (74 + 78)/2 = 76

• JK = Q3 – Q1 = 76 – 64 = 12

• L = 1 ½ JK = 1 ½ . 12 = 18

PD = Q1 – L = 64 – 18 = 46
PL = Q3 + L = 76 + 18 = 94

Dengan demikian, ada dua pencilan dalam data ini, yaitu 44 dan 97.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
Next PostNewer Post Previous PostOlder Post Home

0 komentar:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.