Tuesday, June 3, 2014

Penyajian Data Statistik dalam Bentuk Tabel, Diagram Batang, Garis, Lingkaran, Tabel Distribusi Frekuensi, Relatif dan Kumulatif, Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive, Contoh Soal, Jawaban, Matematika

Ada dua cara penyajian data yang sering dilakukan, yaitu :

a) daftar atau tabel,
b) grafik atau diagram.

1. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel

Misalkan, hasil ulangan Bahasa Indonesia 37 siswa kelas XI SMA 3 disajikan dalam tabel di bawah. Penyajian data pada Tabel 1.1 dinamakan penyajian data sederhana. Dari tabel 1.1, Anda dapat menentukan banyak siswa yang mendapat nilai 9, yaitu sebanyak 7 orang. Berapa orang siswa yang mendapat nilai 5? Nilai berapakah yang paling banyak diperoleh siswa?

Jika data hasil ulangan bahasa Indonesia itu disajikan dengan cara mengelompokkan data nilai siswa, diperoleh tabel frekuensi berkelompok seperti pada Tabel 2.. Tabel 2. dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi.

Tabel 1. Penyajian data sederhana

Nilai
Frekuensi
2
7
4
3
5
5
6
4
7
10
9
7
10
1

Tabel 2. Tabel Distribusi Frekuensi

Interval Kelas
Turus
Frekuensi
1–2
EB
7
3–4
C
3
5–6
EC
8
7–8
EE
10
9–10
EC
8

Jumlah
37

2. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram

Kerapkali data yang disajikan dalam bentuk tabel sulit untuk dipahami. Lain halnya jika data tersebut disajikan dalam bentuk diagram maka Anda akan dapat lebih cepat memahami data itu. Diagram adalah gambar yang menyajikan data secara visual yang biasanya berasal dari tabel yang telah dibuat. Meskipun demikian, diagram masih memiliki kelemahan, yaitu pada umumnya diagram tidak dapat memberikan gambaran yang lebih detail.

a. Diagram Batang

Diagram batang biasanya digunakan untuk menggambarkan data diskrit (data cacahan). Diagram batang adalah bentuk penyajian data statistik dalam bentuk batang yang dicatat dalam interval tertentu pada bidang cartesius.

Ada dua jenis diagram batang, yaitu
  1. diagram batang vertikal, dan
  2. diagram batang horizontal.
Contoh Soal 1 :

Selama 1 tahun, toko "Anggo" mencatat keuntungan setiap bulan sebagai berikut.

Tabel 3. Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jutaan rupiah)

Bulan ke
2,5
1,8
2,6
4,2
3,5
3,3
4,0
5,0
2,0
4,2
6,2
6,2
Keuntungan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12


a. Buatlah diagram batang vertikal dari data tersebut.
b. Berapakah keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun?
c. Kapan Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan berturut-turut?

Penyelesaian :

a. Diagram batang vertikal dari data tersebut, tampak pada gambar berikut.
diagram batang vertikal
Gambar 1. Diagram batang vertikal Keuntungan Toko "Anggo" per Bulan (dalam jura rupiah)

b. Dari diagram tersebut tampak bahwa keuntungan terbesar yang diperoleh Toko "Anggo" selama 1 tahun adalah sebesar Rp 6.200.000,00.
c. Toko "Anggo" memperoleh keuntungan yang sama selama dua bulan beturut-turut pada bulan ke-11 dan ke-12.

b. Diagram Garis

Pernahkah Anda melihat grafik nilai tukar dolar terhadap rupiah atau pergerakan saham di TV? Grafik yang seperti itu disebut diagram garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menggambarkan data tentang m keadaan yang berkesinambungan (sekumpulan data kontinu). Misalnya, jumlah penduduk setiap tahun, perkembangan berat badan bayi setiap bulan, dan suhu badan pasien setiap jam.

Seperti halnya diagram batang, diagram garis pun memerlukan sistem sumbu datar (horizontal) dan sumbu tegak (vertikal) yang saling berpotongan tegak lurus. Sumbu mendatar biasanya menyatakan jenis data, misalnya waktu dan berat. Adapun sumbu tegaknya menyatakan frekuensi data. Langkah-langkah yang dilakukan untuk membuat diagram garis adalah sebagai berikut.
  1. Buatlah suatu koordinat (berbentuk bilangan) dengan sumbu mendatar menunjukkan waktu dan sumbu tegak menunjukkan data pengamatan.
  2. Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t.
  3. Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titiktitik koordinat tersebut dengan garis lurus.
Contoh Soal 2 :

Berikut ini adalah tabel berat badan seorang bayi yang dipantau sejak lahir sampai berusia 9 bulan.

Usia (bulan)
3,5
4
5,2
6,4
6,8
7,5
7,5
8
8,8
8,6
Berat Badan
(kg)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

a. Buatlah diagram garisnya.
b. Pada usia berapa bulan berat badannya menurun?
c. Pada usia berapa bulan berat badannya tetap?

Pembahasan :

a. Langkah ke-1

Buatlah sumbu mendatar yang menunjukkan usia anak (dalam bulan) dan sumbu tegak yang menunjukkan berat badan anak (dalam kg).

Langkah ke-2

Gambarlah titik koordinat yang menunjukkan data pengamatan pada waktu t bulan.

Langkah ke-3

Secara berurutan sesuai dengan waktu, hubungkan titik-titik koordinat tersebut dengan garis lurus.

Dari ketiga langkah tersebut, diperoleh diagram garis dari data tersebut tampak pada Gambar 2.

diagram garis
Gambar 2. Diagram garis berat badan bayi sejak usia 0 bulan–9 bulan
b. Dari diagram tersebut dapat dilihat bahwa berat badan bayi menurun pada usai 8 sampai 9 bulan.
c. Berat badan bayi tetap pada usia 5 sampai 6 bulan. Darimana Anda memperoleh hasil ini? Jelaskan.

Observasi: Interpolasi dan Ekstrapolasi Data

Anda dapat melakukan observasi terhadap kecenderungan data yang disajikan pada suatu diagram garis. Dari observasi ini, Anda dapat membuat perkiraan-perkiraan dengan cara interpolasi dan ekstrapolasi. Hal ini ditempuh dengan mengganti garis patah pada diagram garis menjadi garis lurus. Interpolasi data adalah menaksir data atau memperkirakan data di antara dua keadaan (misalnya waktu) yang berurutan. Misalkan, dari gambar grafik Contoh soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan. Coba Anda amati grafik tersebut, kemudian tentukan berat badan bayi pada usia 5,5 bulan.

Ekstrapolasi data adalah menaksir atau memperkirakan data untuk keadaan (waktu) mendatang. Cara yang dapat dilakukan untuk ekstrapolasi adalah dengan memperpanjang ruas garis terujung ke arah kanan. Misalkan, dari gambar grafik soal 2. dapat diperkirakan berat badan bayi pada usia 10 bulan. Jika garis lurus sudah ditentukan, Anda dapat menentukan interpolasi data. Untuk ekstrapolasi data, Anda harus berhati-hati. Menurut diagram garis, berapa kira-kira berat badan bayi pada usia 10 bulan? Berikan alasan Anda.

c. Diagram Lingkaran

Untuk mengetahui perbandingan suatu data terhadap keseluruhan, suatu data lebih tepat disajikan dalam bentuk diagram lingkaran. Diagram lingkaran adalah bentuk penyajian data statistika dalam bentuk lingkaran yang dibagi menjadi beberapa juring lingkaran.

Langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran adalah sebagai berikut.
  1. Buatlah sebuah lingkaran pada kertas.
  2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring lingkaran untuk menggambarkan kategori yang datanya
  3. telah diubah ke dalam derajat.
Agar lebih jelasnya, pelajarilah contoh berikut.

Contoh Soal 3 :

Tabel berikut menunjukkan banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun 2007.

Tingkat Pendidikan
Banyaknya Siswa
SD
SMP
SMA
175
600
 225

a. Buatlah diagram lingkaran untuk data tersebut.
b. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada tingkat SMP?
c. Berapa persen siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada tingkat SMA?

Pembahasan :

a. Jumlah seluruh siswa adalah 1.000 orang. Seluruh siswa diklasifikasikan menjadi 5 katagori: SD = 175 orang, SMP = 600 orang, dan SMA = 225 orang.

• Siswa SD = (175/1.000) x 100% = 17,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 17,5% × 360° = 63°

• Siswa SMP = (600/1.000) x 100% = 60%
Besar sudut sektor lingkaran = 60% × 360° = 216°

• Siswa SMA= (225/1.000) 100% = 22,5%
Besar sudut sektor lingkaran = 22,5% × 360° = 81°

Diagram lingkaran ditunjukkan pada Gambar 3.
diagram lingkaran
Gambar 3. Diagram lingkaran banyaknya siswa di suatu kabupaten menurut tingkat sekolah pada tahun 2007
b. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada tingkat SMP adalah 60%.
c. Persentase siswa yang menyelesaikan sekolah sampai pada tingkat SMAadalah 22,5%.

3. Tabel Distribusi Frekuensi, Frekuensi Relatif dan Kumulatif, Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogive

a. Tabel Distribusi Frekuensi

Data yang berukuran besar (n > 30) lebih tepat disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, yaitu cara penyajian data yang datanya disusun dalam kelas-kelas tertentu.

Langkah-langkah penyusunan tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut.

• Langkah ke-2 menentukan banyak interval (K) dengan rumus "Sturgess" yaitu: K= 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data. Banyak kelas harus merupakan bilangan bulat positif hasil pembulatan.
• Langkah ke-3 menentukan panjang interval kelas (I) dengan menggunakan rumus:

I = J/K

• Langkah ke-4 menentukan batas-batas kelas. Data terkecil harus merupakan batas bawah interval kelas pertama atau data terbesar adalah batas atas interval kelas terakhir.
• Langkah ke-5 memasukkan data ke dalam kelas-kelas yang sesuai dan menentukan nilai frekuensi setiap kelas dengan sistem turus.
• Menuliskan turus-turus dalambilangan yang bersesuaian dengan banyak turus.

Ingatlah :

Menentukan banyak kelas interval dengan aturan Sturges dimaksudkan agar interval tidak terlalu besar sebab hasilnya akan menyimpang dari keadaan sesungguhnya. Sebaiknya, jika interval terlalu kecil, hasilnya tidak menggambarkan keadaan yang diharapkan.

Contoh Soal 4 :

Seorang peneliti mengadakan penelitian tentang berat badan dari 35 orang.

Data hasil penelitian itu (dalam kg) diberikan berikut ini:

48 32 46 27 43 46 25 41 40 58 16 36
21 42 47 55 60 58 46 44 63 66 28 56
50 21 56 55 25 74 43 37 51 53 39

Sajikan data tersebut ke dalam tabel distribusi frekuensi.

Jawaban :

1. Jangkauan (J) = Xm- Xn = 74 – 16 = 58.

2. Banyak kelas (K) = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 35 = 6,095. Banyak kelas dibulatkan menjadi "6".

3. Panjang interval kelas (I) adalah I = J/K = 58/6 = 9,67. Panjang interval kelas dibulatkan menjadi "10". 

Dengan panjang interval kelas = 10 dan banyak kelas = 6, diperoleh tabel distribusi frekuensi seperti pada Tabel 4. atau Tabel 5

Cara I: Batas bawah kelas pertama diambil datum terkecil. Amati Tabel 4. Dari tabel tersebut tampak bahwa frekuensi paling banyak dalam interval 46–55. Artinya, berat badan kebanyakan berkisar antara 46 kg dan 55 kg.

Tabel 4. Tabel distribusi frekuensi

Interval Kelas
Turus
Frekuensi
16–25
E
5
26–35
C
3
36–45
ED
9
46–55
EE
10
56–65
EA
6
66–75
B
2

Jumlah
35

Cara II: Batas atas kelas terakhir diambil datum terbesar. Amati Tabel 5.

Tabel 5. Tabel distribusi frekuensi

Interval Kelas
Turus
Frekuensi
15–24
C
3
25–34
E
5
35–44
ED
9
45–54
EC
8
55–64
EC
8
65–74
B
2

Jumlah
35

Dari tabel tampak frekuensi paling sedikit dalam interval 65–74. Artinya, berat badan antara 65 kg dan 74 kg ada 2 orang. Perhatikan interval kelas yang pertama, yaitu 15–24. 15 disebut batas bawah dan 24 disebut batas atas. Ukuran 15–24 adalah hasil pembulatan, ukuran yang sebenarnya terletak pada 14,5–24,5. 14,5 disebut tepi bawah kelas (batas bawah nyata) dan 24,5 disebut tepi atas kelas (batas atas nyata) pada interval kelas 15–24.

Dalam menentukan tepi bawah kelas dan tepi atas kelas pada setiap interval kelas, harus diketahui satuan yang dipakai. Dengan demikian, untuk tepi bawah kelas adalah batas bawah kelas dikurangi 1/2 satuan ukuran. Jadi, tepi kelas dari interval kelas 15–24 menjadi 14,5–24,5.

b. Frekuensi Relatif dan Kumulatif

Frekuensi yang dimiliki setiap kelas pada tabel distribusi frekuensi bersifat mutlak. Adapun frekuensi relatif dari suatu data adalah dengan membandingkan frekuensi pada interval kelas itu dengan banyak data dinyatakan dalam persen. Contoh: interval frekuensi kelas adalah 20. Total data seluruh interval kelas = 80 maka frekuensi relatif kelas ini adalah 20/8 = ¼, sedangkan frekuensi relatifnya adalah ¼ × 100% = 25%.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan rumus frekuensi relatif? Cobalah nyatakan rumus frekuensi relatif dengan kata-kata Anda sendiri.

Frekuensi relatif dirumuskan sebagai berikut.

Frekuensi relatif kelas ke-k = frekuensi kelas ke-k / banyak data

Frekuensi kumulatif kelas ke-k adalah jumlah frekuensi pada kelas yang dimaksud dengan frekuensi kelas-kelas sebelumnya.

Ada dua macam frekuensi kumulatif, yaitu
  1. frekuensi kumulatif "kurang dari" ("kurang dari" diambil terhadap tepi atas kelas);
  2. frekuensi kumulatif "lebih dari" ("lebih dari" diambil terhadap tepi bawah kelas).
Tepi atas = batas atas + ½ satuan pengukuran

Tepi bawah = batas bawah - ½ satuan pengukuran

Contoh Soal 5 :

Dari Tabel 4. untuk interval kelas 46 – 55 (kelas 4), hitunglah

a. frekuensi relatif;
b. frekuensi kumulatif "kurang dari";
c. frekuensi kumulatif "lebih dari".

Penyelesaian :

a. Frekuensi relatif kelas ke-4 = (frekuensi kelas ke-4 / banyak datum) x 100 % = 10/35 x 100% = 28,57%

b. Frekuensi kumulatif "kurang dari" untuk interval kelas 46 – 55
= 5 + 3 + 9 + 10 = 27 (kurang dari tepi atas kelas 55,5)

c. Frekuensi kumulatif "lebih dari" untuk interval kelas 46 – 55
= 10 + 6 + 2 = 18 (lebih dari tepi bawah kelas 45,5).

c. Histogram dan Poligon Frekuensi

Histogram merupakan diagram frekuensi bertangga yang bentuknya seperti diagram batang. Batang yang berdekatan harus berimpit. Untuk pembuatan histogram, pada setiap interval kelas diperlukan tepi-tepi kelas. Tepi-tepi kelas ini digunakan unntuk menentukan titik tengah kelas yang dapat ditulis sebagai berikut.

Titik tengah kelas = ½ (tepi atas kelas + tepi bawah kelas)

Poligon frekuensi dapat dibuat dengan menghubungkan titik-titik tengah setiap puncak persegipanjang dari histogram secara berurutan. Agar poligon "tertutup" maka sebelum kelas paling bawah dan setelah kelas paling atas, masing-masing ditambah satu kelas.

Contoh Soal 6 :

Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di Kalimantan Barat diberikan pada Tabel 6. Buatlah histogram dan poligon frekuensinya.

Tablel 6. Tabel distribusi frekuensi hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di Kalimantan Barat

Kelas Interval
Frekuensi
21–30
2
31–40
3
41–50
11
51–60
20
61–70
33
71–80
24
81–90
7

100

Jawaban :

histogram
Gambar 4. Histogram hasil ujian matematika Kelas XI SMA Cendekia di Kalimantan Barat.

Dari histogram tersebut tampak bahwa kebanyakan siswa memperoleh nilai antara 60,5 dan 70,5. Coba Anda ceritakan hal lain dari histogram tersebut.

d. Ogive (Ogif)

Grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari dinamakan poligon kumulatif.

Untuk populasi yang besar, poligon mempunyai banyak ruas garis patah yang menyerupai kurva sehingga poligon frekuensi kumulatif dibuat mulus, yang hasilnya disebut ogif.

Ada dua macam ogif, yaitu sebagai berikut.

a. Ogif dari frekuensi kumulatif kurang dari disebut ogif positif.
b. Ogif dari frekuensi kumulatif lebih dari disebut ogif negatif.

Contoh Soal 7 :

Tabel 7. dan 8. berturut-turut adalah tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" dan "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.

Tabel 7. Tabel distribusi frekuensi kumulatif "kurang dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.

Nilai
Frekuensi
< 20,5
0
< 30,5
2
< 40,5
5
< 50,5
16
< 60,5
36
< 70,5
69
< 80,5
93
< 90,5
100

Tabel 8. Tabel distribusi frekuensi kumulatif "lebih dari" tentang nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.

Nilai
Frekuensi
> 20,5
100
> 30,5
98
> 40,5
95
> 50,5
84
> 60,5
64
> 70,5
31
> 80,5
7
> 90,5
0

a. Buatlah ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut.
b. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai nilai Biologi kurang dari 85?
c. Berapakah jumlah siswa yang mempunyai berat badan lebih dari 40?

Pembahasan :

a. Ogif positif dan ogif negatif dari tabel tersebut tampak pada gambar 5.
kurva ogif positif dan negatif
Gambar 5. Kurva ogif positif dan negatif nilai ulangan Biologi Kelas XI SMA 3.
b. Dari kurva ogif positif, tampak siswa yang mempunyai nilai kurang dari 85 adalah sebanyak 93 orang.
c. Dari kurva ogif negatif, tampak siswa yang mempunyai nilai lebih dari 40 adalah sebanyak 96 orang.

Anda sekarang sudah mengetahui Penyajian Data Statistik. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

3 comments:

  1. terimakasih sangat membantu saya izin mengcopy materi anda dengan perubahan seperlunya untuk tugas sekolah saya , saya cantumkan sumber nya terimakasih :)

    ReplyDelete
  2. terima kasih ini sangat membantu saya dalam membuat tugas ,izin copy nya gan.

    ReplyDelete
  3. Terimakasih , sangat membantu ni dalam belajar :)

    ReplyDelete

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.