Tuesday, June 3, 2014

Rumus Contoh Soal Permutasi dan Kombinasi, Pengertian, Unsur yang Sama, Siklis, Cara Menentukan, Binomial Newton, Peluang, Jawaban, Matematika

Berikut ini adalah materi lengkap permutasi dan kombinasi :

A. Permutasi

Dalam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah A, B, C, dan D. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan 2 cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 × 3 × 2 = 24 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila Anda mengamati skema berikut.
permutasi
Gambar 1. Diagram pohon untuk pemilihan 3 pengurus kelas dari 5 calon yang ada.
Ingatlah :

Urutan ABC C berbeda dengan urutan ACB. Dalam urutan ABC, sekretaris adalah B. Dalam urutan ACB, sekretaris adalah C.

Dari skema tersebut diperoleh 24 susunan 3 unsur, yaitu :

ABC
ABD
ACB
ACD
ADB
ADC
BAC
BAD
BCA
BCD
BDA
BCD
CAB
CAD
CBA
CBD
CDA
CDB
DAB
DAC
DBA
DBC
DCA
DCB

Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan urutannya. ABC adalah suatu permutasi, ACB juga suatu permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 24 susunan itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya disebut permutasi. Dari uraian tersebut dapatkah Anda menduga pengertian permutasi? Cobalah nyatakan pengertian permutasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 1 :

Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan.

Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah :

4 × 3 × 2 = 24.

Banyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis :
permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel 1.

Tabel 1. Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur

Tempat ke-
1
2
3
...
r
...
Banyak Cara
n
n(n – 1)
n(n – 1) (n – 2)
...
n(n – 1) (n – 2)...(n – (r – 1))
...

Dari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah :

P(n, r) = n (n – 1) (n – 2) … (n – (r – 1))

Untuk r = 1, maka :

P(n, 1) = n

Untuk r = 2, maka P(n, 2) :

permutasi 2 unsur yang diambil dari n unsur
Ingatlah :

Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan  .

Untuk r = 3 maka P(n, 3) :

permutasi 3 unsur yang diambil dari n unsur
Untuk r = k, diperoleh P(n, k) :

permutasi k unsur yang diambil dari n unsur
Untuk r = n, diperoleh :

P(n, n) = n (n – 1)(n – 2)…(n – (r – 1))(n – r)…(3)(2)(1) = n!

Banyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah :
permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur
Contoh Soal 2 :

Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi.

Jawab:

P(3, 2), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = 2 (banyak wiraniaga terpilih).
menghitung permutasi
Jadi, terdapat 6 cara.

Coba Anda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.

Contoh Soal 3 :

Dari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang

a. dari 500 b. dari 600

Jawab:

a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat Anda lihat pada Gambar 2. Amati gambar 3.
Salah satu susunan yang mungkin. Dapatkah Anda menentukan susunan lainnya?
Gambar 2. Salah satu susunan yang mungkin. Dapatkah Anda menentukan susunan lainnya?
Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti Anda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu :
menghitung permutasi
Jadi, terdapat 12 cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500. Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.
Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.
Gambar 3. Angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8.
Sekarang, coba Anda buktikan hal ini dengan menggunakan kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin.

b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5.
 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).
 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6, 7, dan 8 (pilih 2 dari 4 unsur).

Banyak bilangan yang kurang dari 600 adalah :
Banyak bilangan yang kurang dari 600
Jadi, terdapat 24 bilangan yang kurang dari 600.

a. Permutasi Beberapa Unsur yang Sama

Pada kata "BUKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-huruf pada kata "BUKU" dapat Anda amati pada diagram pohon di bawah.
diagram pohon
Coba Anda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K, dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut adalah sebagai berikut.

1. BUKU
6. BUUK
11. UBUK
16. KBUU
21. UUBK
2. BUUK
7. UKBU
12. UBKU
17. KUUB
22. UUKB
3. BKUU
8. UKUB
13. KUBU
18. KUBU
23. UKBU
4. BKUU
9. UUBK
14. KUUB
19. UBUK
24. UKUB
5. BUKU
10. UUKB
15. KBUU
20. UBKU


Amatilah 24 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya menjadi:

1. BUKU
4. UKBU
7. UUKB
10. KUBU
2. BUUK
5. UKUB
8. UBUK
11. KUUB
3. BKUU
6. UUBK
9. UBKU
12. KBUU

Banyak permutasi huruf-huruf pada kata “BUKU” adalah 12 atau 12 = 4 × 3 = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 4!/2!

Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MAMA dengan menggunakan diagram pohon. Jika Anda melakukan dengan benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MAMA, MAAM, MMAA, AMMA, AMAM, dan AAMM, karena kata “MAMA” mempunyai dua pasang huruf yang sama.

Banyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu A adalah :
permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama


Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan lk unsur jenis ke-k yang sama adalah :
Banyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l1 unsur jenis pertama, l2 unsur jenis kedua, l3 unsur jenis ketiga, dan lk unsur jenis ke-k yang sama
Contoh Soal 4 :

Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari kata-kata berikut.

a. JAYAPURA 

b. MATEMATIKA

Jawab:

a. Pada kata "JAYAPURA", terdapat 3 buah A yang sama sehingga permutasinya adalah P(8, 3) = 8! / 3! = 6.720.

b. Pada kata "MATEMATIKA" terdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama sehingga permutasinya adalah :
permutasi kata METEMATIKA
b. Permutasi Siklis

Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis.
Permutasi Siklis
Gambar 4. Permutasi Siklis
Pada Gambar 4. posisi 1 dan posisi 2 menunjukkan permutasi A dan B yang disusun melingkar searah putaran jarum jam. Coba Anda amati Gambar 4, apakah susunan pada posisi 1 berbeda dengan susunan pada posisi 2? Apabila Anda mengamati dengan saksama maka posisi 1 = posisi 2

Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara.

Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkan sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam 1! cara atau (2 – 1)! cara. Agar Anda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama A, B, C, dan D. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat diterangkan sebagai berikut.
Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar
Gambar 5. Banyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar.
Dengan cara yang sama, Anda dapat membuat formasi lingkaran untuk titik pangkal B, C, dan D. Hasil dari seluruh formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut.

1. ABCD
7. BACD
13. CABD
19. DABC
2. ABDC
8. BADC
14. CADB
20. DACB
3. ACBD
9. BCAD
15. CBAD
21. DBAC
4. ACDB
10. BCDA
16. CBDA
22. DBCA
5. ADBC
11. BDAC
17. CDAB
23. DCAB
6. ADCB
12. BDCA
18. CDBA
24. DCBA

Amati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu :

ABCD = BCDA= = CDAB = DABC
ACDB = BACD = CDBA = DBAC
ABDC = BDCA= = CABD= = DCAB
ADBC = BCAD= = CADB= = DBCA
ACBD = BDAC = CBDA = DACB
ADCB = BADC = CBAD = DCBA

Dengan demikian, dari 24 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda, yaitu ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, dan ADCB. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6.

Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan dalam 3! cara atau (4 – 1)! cara. Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 cara.

Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak diperhatikan. Amati Gambar 6.
Contoh permutasi siklis
Gambar 6. Contoh permutasi siklis.
Dari gambar, susunan manik-manik pada posisi 1 adalah ABC atau ditulis ACB. Adapun susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.
susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC
Gambar 7. susunan manik-manik pada posisi 2 adalah ACB atau ditulis ABC.
Susunan manik-manik pada Gambar 7. adalah sama. Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah 1 susunan. Banyaknya cara yang digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu 1 susunan atau (3-1)!/2.

Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manik dalam kalung terdapat (n-1)!/2 susunan yang berbeda.

Ingatlah :

Susunan pada gambar (a) dan gambar (b) adalah sama karena unsur A dekat dengan D dan B, meskipun titik acuan berbeda.
Gambar 9. Susunan pada gambar (a) dan gambar (b) adalah sama karena unsur A dekat dengan D dan B, meskipun titik acuan berbeda.
Contoh Soal 5 :

a. Delapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. Berapa banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?

b. Dua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. Ada berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?

Pembahasan :

a. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8–1)! = 7! = 5.040 cara.

b. Banyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah kalung adalah :

(25-1) / 2 = 24!/2 cara


Pada permutasi, Anda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. Banyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut.

Dari Subbab A.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu :

ABC
ADE
BCD
CAB
CDE
DBC
EAB
ECD
ABD
AEB
BCE
CAD
CEA
DBE
EAC
EDA
ABE
AEC
BDA
CAE
CEB
DCA
EAD
EDB
ACB
AED
BDC
CBA
CED
DCB
EBA
EDC
ACD
BAC
BDE
CBD
DAB
DCE
EBC

ACE
BAD
BEA
CBE
DAC
DEA
EBD

ADB
BAE
BEC
CDA
DAE
DEB
ECA

ADC
BCA
BED
CDB
DBA
DEC
ECB


Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 10 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, dan CDE.

Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan pengertian kombinasi? Cobalah nyatakan pengertian kombinasi dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pengertian kombinasi yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut.

Definisi 3 :

Kombinasi r unsur dari n unsur adalah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan.

Banyaknya dengan  atau  atau C =(n, r).

a. Menentukan Banyak Kombinasi 

Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah (5 x 4) / 2 = 10 cara.

Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis :
Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur
Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur yang dirumuskan :
kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur dengan r < n
Contoh Soal 6 :

Kerjakan soal-soal berikut.

a. Diketahui , tentukanlah nilai n.
b. Dari 20 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas 11 orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut.

Pembahasan :

1.
nilai n banyak cara
Oleh karena n ≥ r maka yang memenuhi adalah n = 9.

b. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa, yaitu .
Banyak cara memilih 11 orang siswa dari 20 siswa
Coba Anda tentukan susunannya dengan diagram pohon.

Contoh Soal 7 : Soal Ebtanas 2000

Suatu pertemuan dihadiri oleh 15 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah ....

Jawab:

Banyak jabat tangan = C(15,2)

15!/(2!13!) = 105

Contoh Soal : Soal UMPTN 2000 

Banyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah ....

Jawab:

Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi C(7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = C(7,3)
banyaknya kombinasi segitiga
b. Binomial Newton

Di SMP Anda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut.

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

Untuk pangkat 4, Anda masih dapat menjabarkannya. Bagaimana menjabarkan (a+b)15? Untuk menyelesaikannya Anda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan tersebut.

Amati dengan saksama koefisien-koefisien bentuk-bentuk perpangkatan tersebut. Apabila koefisien-koefisien dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram, diperoleh :
Segitiga Pascal

Diagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. Amati pola Segitiga Pascal tersebut.
bagi Segitiga Pascal

Karena :
simbol penulisan baris segitiga pascal

maka pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi berikut.
pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi
Dari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan sebagai berikut.
bentuk perpangkatan segitiga pascal

Secara umum bentuk (a + b)n dapat ditulis menjadi :
bentuk abn
dengan :
bentuk nr bentuk abn
Dengan demikian,
binomial Newton (ekspansi binomial)
Bentuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansi binomial).

Contoh 9 :

Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x2 + 2y)5.

Penyelesaian :
menyederhanan bentuk

Anda sekarang sudah mengetahui Permutasi dan Kombinasi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

2 comments:

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.

Search