Contoh Soal Fungsi Naik dan Fungsi Turun, Maksimum Minimum, Rumus, Pembahasan, Pengertian, Persamaan, Matematika

Leave a Comment
Pelajarilah materi berikut ini :

A. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Diketahui, sebuah peluru ditembakkan ke atas dan lintasannya digambarkan sebagai kurva dari fungsi y = f(x), seperti pada Gambar 1.
kurva dari fungsi y = f(x)
Gambar 1. kurva dari fungsi y = f(x).
Peluru bergerak naik dari titik A ke titik B, kemudian bergerak turun dari titik B ke titik C. Dikatakan f disebut naik dalam daerah Df = { x| a ≤ x ≤ b} sebab semakin besar nilai x menyebabkan nilai fungsi f semakin bertambah besar. Fungsi f disebut turun dalam daerah Df = { x| b ≤ x ≤ c} sebab semakin besar nilai x menyebabkan nilai fungsi f semakin kecil.

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suatu fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut monoton turun?
fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut monoton turun
Gambar 2. Fungsi f disebut monoton naik dan suatu fungsi f disebut monoton turun.
Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.

Definisi 1 :

Misalkan f terdefinisi pada selang I. Kita katakan bahwa:

• f monoton naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b mengakibatkan f(a) < f(b);
• f monoton turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan a dan b dalam I, a < b menyebabkan f(a) > f(b).

Sekarang amati Gambar 3.
Titik P adalah titik sebarang pada grafik
Gambar 3. Titik P adalah titik sebarang pada grafik.
Titik P1 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (0, a), titik P2 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (a, b) dan titik P3 adalah titik sebarang pada grafik yang terletak pada selang (b, c). Apabila Anda membuat garis singgung di P1P2, dan P3 yang diberi nama g1, g2, dan g3 seperti pada Gambar 4. maka garis singgung g1 memiliki gradien positif (condong ke kanan), garis singgung g2 memiliki gradien negatif (condong ke kiri), dan garis singgung g3 memiliki gradien positif (condong ke kanan).
Garis singgung yang memiliki gradien positif dan negatif
Gambar 4. Garis singgung yang memiliki gradien positif dan negatif.
Coba Anda jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, mengapa g1 memiliki gradien positif, g2 memiliki gradien negatif, dan g3 memiliki gradien positif.

Gradien garis singgung di suatu titik pada grafik dapat ditentukan dengan turunan fungsi. Untuk fungsi naik dan fungsi turun memenuhi teorema berikut. Misalkan, fungsi f dapat diturunkan pada selang terbuka (a, b).

• Jika f '(x) > 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f naik pada selang (a, b).
• Jika f '(x) < 0 untuk setiap x dalam selang (a, b) maka fungsi f turun pada selang (a, b).

Contoh Soal 1 :

Periksa naik atau turunnya fungsi-fungsi berikut.

1. f(x) = –x2 pada selang (0,1)
2. f(x) = 10x – x2 pada selang (0,10)

Pembahasan :

1. f(x) = – x2 maka f '(x) = –2x.

Misalkan, p anggota (0, 1) sehingga 0 < p < 1.
f '(p) = –2p < 0 untuk p > 0 sehingga f(x) = x2 pada selang (0, 1) merupakan fungsi turun.

2. f(x) = 10x – x2 maka f '(x) = 10 – 2x.

Misalkan, p anggota (0, 10) sehingga 0 < p < 10.
f '(p) = 10 – 2p > 0 untuk p < 5 dan f '(p) = 10 – 2p < 0 untuk p > 5. 
Dengan demikian, f(x) = 10x – x2 pada selang (0, 10) merupakan fungsi naik dan fungsi turun.

Contoh Soal 2 :

Periksa naik atau turunnya fungsi f(x) = cos x pada selang-selang berikut.

a. 

b. 

Penyelesaian :

f(x) = cos x maka f '(x) = – sin x.

a. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p adalah anggota  sehingga 0 < p < .

f '(p) = –sin p < 0 untuk 0 < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi turun.

b. f(x) = cos x pada selang 

Misalkan, p anggota  sehingga π < p <  π.

f '(p) = –sin p > 0 untuk π < p <  sehingga f(x) = cos x pada selang  merupakan fungsi naik.

Contoh Soal 3 :

Tentukan pada interval (0, 2π) di mana tempat fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik atau fungsi turun.

Jawaban :

f(x) = cos ( x + π), maka f '(x) = –sin (x + π).

• Agar fungsi f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik maka f '(x) > 0 sehingga –sin (x + π) > 0. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, gunakan diagram tanda melalui tahapan berikut: 

–sin (x + π) = 0
–sin (x + π) = sin 0  x + π = 0 ± k 2π, k bilangan bulat
x = –π ± k 2π

Oleh karena x  (0, 2π) maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = π sehingga diperoleh diagram tanda berikut.
diagram tanda maka nilai x yang memenuhi adalah x1 = π
Dari diagram tanda tersebut interval yang menghasilkan –sin (x + π) > 0 adalah 0 < x < π.

f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π
Gambar 5. f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π.
Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi naik pada interval 0 < x < π, seperti diperlihatkan pada Gambar 5.

• Fungsi f(x) = cos(x+ π) merupakan fungsi turun, jika f '(x) < 0 sehingga f '(x) = –sin (x + π) < 0.

Dengan menggunakan diagram tanda, interval yang menghasilkan –sin(x + π) < 0 adalah π < x < 2.

Jadi, f(x) = cos (x + π) merupakan fungsi turun pada interval π < x < 2π, seperti diperlihatkan pada Gambar 8.9.


Anda telah mempelajari fungsi kuadrat dan grafiknya di Kelas IX. Pada pembahasan mengenai hal tersebut, Anda telah dapat menentukan titik ekstrim maksimum atau titik ekstrim minimum dari fungsi kuadrat melalui proses aljabar bilangan real. Perlu diketahui bahwa proses tersebut tidak dapat dikembangkan untuk menentukan titik ekstrim fungsi-fungsi yang lebih rumit. Ternyata dengan menggunakan turunan Anda dapat menentukan titik ekstrim segala jenis fungsi yang dapat diturunkan bahkan juga yang kontinu.

Agar lebih jelasnya, amati uraian berikut.
grafik y = f(x) = x2 – 2
Gambar 6.  grafik y = f(x) = x2 – 2.
Gambar 6. memperlihatkan grafik y = f(x) = x2 – 2. Anda mungkin memahami bahwa fungsi y = f(x) = x2 – 2 mempunyai nilai minimum pada x = 0 sebab f(x) = f(0) = 02 – 2 = –2. Turunan fungsi f(x) = x2 – 2 adalah f '(x) = 2x.

Anda dapat memeriksa bahwa f '(x) < 0 untuk x < 0 dan f '(x) > 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) turun untuk x < 0 dan f (x) naik untuk x > 0. Bagaimana dengan fungsi di x = 0, apakah naik atau turun? Fungsi f(x) di x = 0 tidak turun atau naik, titik ini disebut titik stasioner.

Definisi 2 :

Jika fungsi f mencapai titik ekstrim pada (a, f(a)) dan terdiferensialkan pada titik itu maka titik (a, f(a)) merupakan titik stasioner atau f '(x) = 0.

Jika Anda amati grafik y = f(x) = x2 – 2, tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari turun menjadi naik.

Adanya perubahan kemonotonan dari turun menjadi naik menyebabkan adanya titik minimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik x = 0 fungsi bernilai minimum, yaitu f(x) = f(0) = –2.

Sekarang, selidiki grafik y = f(x) = 2 – x2 pada Gambar 7.
grafik y = f(x) = 2 – x2
Gambar 7. Grafik y = f(x) = 2 – x2
Mudah diselidiki bahwa fungsi y = f(x) = 2 – x2 mempunyai nilai maksimum pada x = 0 sebab f(0) = 2 – 02 = 2. Turunan fungsi f(x) = 2 – x2 adalah f '(x) = –2x. Anda dapat menyelidiki bahwa f '(x) > 0 untuk x < 0 dan f '(x) < 0 untuk x > 0 serta f '(0) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik untuk x < 0, f(x) turun untuk x > 0, dan x = 0 adalah titik stasioner. Jika Anda amati grafik y = f(x) = 2 – x2 , tampak adanya perubahan kemonotonan di sekitar x = 0 dari naik menjadi turun.

Adanya perubahan kemonotonan dari naik menjadi turun menyebabkan adanya titik maksimum sebagai tempat terjadinya perubahan kemonotonan itu sehingga pada titik x = 0 fungsi bernilai maksimum, yaitu f(x) = f(0) = 2. Pembahasan dilanjutkan tentang maksimum dan minimum dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|. Kedua grafik tersebut diperlihatkan pada Gambar 8.
maksimum dan minimum dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|
Gambar 8. Maksimum dan minimum fungsi dengan memeriksa fungsi f(x) = x3 dan f(x) = |x|
• Turunan pertama fungsi f(x) = x3 adalah f '(x) = 3x2 . Anda dapat memeriksa bahwa f '(x) > 0 untuk x 0 dan f '(x) = 0 pada x = 0. Oleh karena itu, f(x) naik untuk x < 0 atau x > 0 dan x = 0 adalah titik stasioner. Akibatnya, titik stasioner bukan merupakan titik ekstrim (maksimum atau minimum). Anda dapat mengamati dari Gambar 8(a) bahwa grafik y = x3 selalu naik di sekitar x = 0.
• Pada gambar 8(b), f(x) = |x| = 

sehingga f '(x) = –1 < 0 untuk x < 0 dan f '(x) = 1 > 0 untuk x > 0. Adapun untuk menentukan f '(0) digunakan konsep limit, yaitu sebagai berikut.
Dari Bab tentang pengertian limit telah diterangkan bahwa limit fungsi tersebut tidak ada.

Jadi, f '(0) tidak ada atau f tidak terdiferensialkan. Oleh karena itu, f(x) turun untuk x < 0, f(x) naik untuk x > 0, dan x = 0 bukan merupakan titik stasioner sehingga pada x = 0 fungsi bernilai minimum. Sekarang amati Gambar 9.
Grafik nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(b) dan nilai minimum fungsi f(x) adalah f(a) dan x = a
Gambar 9. Grafik nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(b) dan nilai minimum fungsi f(x) adalah f(a) dan x = a.
Diketahui, fungsi f(x) terdefinisi pada interval a ≤ x ≤ d serta f '(b) = f '(c) = 0.

Dari Gambar 9. diperoleh uraian berikut.

a. Untuk Df = [ a, p] atau Df = { x | a < x < p},

• nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(b) sehingga

x = b menyebabkan f '(b) = 0;

• nilai minimum fungsi f(x) adalah f(a) dan x = a merupakan titik ujung kiri interval Df .

Nilai f(b) > f(x) untuk x anggota Df = [ a, p] sehingga f(b) dinamakan nilai maksimum mutlak atau nilai maksimum global. Oleh karena f(a) < f(x) untuk x anggota Df = [ a, p] maka f(a) disebut nilai minimum mutlak atau nilai minimum global.

b. Untuk Df = [ p, d] atau Df = { x | p ≤ x ≤ d},

• nilai maksimum fungsi f(x) adalah f(d) dan x = d merupakan titik ujung kanan interval Df ; 

• nilai minimum fungsi f(x) sama dengan f(c) dan x = c menyebabkan f '(x) = 0.

Untuk Df = [ p, d] nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) merupakan nilai maksimum dan minimum global.

c. Untuk Df = [ a, d] atau Df = { x | a ≤ x ≤ d},

• nilai balik maksimum f(b) bukan merupakan nilai maksimum fungsi f(x), tetapi dinamakan nilai maksimum lokal atau maksimum relatif;
• nilai balik minimum f(c) bukan merupakan nilai minimum fungsi f(x) akan tetapi dinamakan nilai minimum lokal atau minimum relatif.

Untuk menentukan nilai minimum atau maksimum fungsi f(x) dalam interval tertutup, terlebih dahulu ditentukan nilai f(x) untuk nilai x sebagai titik ujung interval domain fungsi f(x) dan nilai x yang menyebabkan f '(x) = 0. Kemudian, bandingkan nilai-nilai tersebut.

Contoh Soal 4 :

Tentukan nilai maksimum dan minimum f(x) = 2x2 – x, untuk:

a. Df = { x | –1 ≤ x ≤ 2},
b. Df = { x | –6 ≤ x ≤ –4}.

Jawaban :

f(x) = 2x2 – x  f '(x) = 4x – 1

4x – 1 = 0  x = ¼.

a. x = 1/4 anggota Df = { x | 1 ≤ x ≤ 2} ....(1)

f(–1) = 2 (–1)2 – 1 = 1 ....(2)

f(2) = 2 (2)2 – 2 = 6 ....(3)

Dari (1), (2), dan (3), diperoleh f(2) = 6 adalah nilai maksimum dan f (¼) = - 1/8 merupakan nilai minimum fungsi f(x) = 2x2 – x

dengan :

Df = { x | –1 ≤ x ≤ 2}.

b. x = .... bukan anggota Df = { x | –6 ≤ x ≤ –4}
f(–6) = 2 (–6)2 – (–6) = 78
f(–4) = 2(–4)2 – (–4) = 36

Jadi, fungsi f(x) = 2x2 – x dengan Df = { x | –6 ≤ x ≤ –4} mempunyai nilai maksimum f(–6) = 78 dan nilai minimum f(–4) = 36.

Contoh Soal 5 :

Selembar aluminium akan dibuat silinder tanpa tutup dengan volume 8.000π cm3 . Tentukan tinggi dan jari-jari alas silinder agar aluminium yang digunakan seminimal mungkin.

Pembahasan :
(a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat.
Gambar 10. (a) Selembar aluminium. (b) Silinder yang akan dibuat.
Diketahui: Volume silinder tanpa tutup yang dibuat 8.000π cm3 .

Ditanyakan: Tinggi dan jari-jari alas silinder agar luas aluminium minimal.

Penyelesaian :

Misalkan, volume silinder = V (r), tinggi silinder = t, jari-jari alas silinder = r, dan luas permukaan silinder = L (r).

V (r) = luas alas × tinggi = π r2 × t = 8.000π

sehingga,

t =  ....(1)

L (r) = luas alas + luas selubung = π r² + 2πrt ....(2)

Substitusikan (1) ke (2) sehingga diperoleh :

L (r)= π r² - 2πr  = π r² - 2πrt

Nilai stasioner L (r) diperoleh jika nilai L' (r) = 0 sehingga :
....(3)
Substitusikan (3) ke (1) sehingga diperoleh :
Jadi, tinggi silinder t = 20 cm dan jari-jari alas r = 20 cm.

Contoh Soal 6 :

Jumlah bahan bakar solar selama satu tahun yang dibutuhkan oleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam memenuhi persamaan :

Q(v) = - 1/65 v2 + 2v + 2.500 liter

Tentukan jumlah maksimum solar yang dibutuhkan dalam empat tahun.

Pembahasan :

Nilai stasioner Q(v) diperoleh jika Q'(v) = 0 sehingga :

Q’(x) = - 2/65 v + 2 = 0  - 2/65 v = 2  v = 65

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan selama satu tahun adalah :

Q(65) = -1/65 (65)2 + 2(65) + 2.500 = 2.565 liter

Jumlah maksimum solar yang dibutuhkan empat tahun adalah :

4 × 2.565 = 10.260 liter.

Anda sekarang sudah mengetahui Fungsi Naik dan Fungsi Turun. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
Next PostNewer Post Previous PostOlder Post Home

0 komentar:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.