Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri Aljabar, Pembahasan, Pengertian, Materi, Rumus, Teorema, Matematika, Cara Substitusi Langsung dan Memfaktorkan Sekawan, Tak Hingga


Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri Aljabar, Pembahasan, Pengertian, Materi, Rumus, Teorema, Matematika, Cara Substitusi Langsung dan Memfaktorkan Sekawan, Tak Hingga - Anda telah mempelajari ari nilai fungsi f di a pada materi Suku Banyak. Sebagai contoh, diketahui f(x) = . Untuk x = –1 diperoleh f(–1) = 1. Untuk x = 1 diperoleh f(1) = 3. Berapakah nilai f untuk x = 0? Ternyata, Anda tidak dapat menentukan nilai f di x = 0 sebab pembagian bilangan hanya terdefinisi jika pembagi tidak sama dengan 0. Akan tetapi, Anda masih dapat mempelajari bagaimana nilai f jika x mendekati 0 dengan menggunakan limit. Konsep limit suatu fungsi dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan berikut. Misalkan persamaan posisi motor setelah bergerak t jam dinyatakan oleh S = f(t) = 24t2 + 4t. Kecepatan motor pada saat t = 1 jam dapat diperoleh dari limit kecepatan rata-rata dalam selang t = 1 sampai t = 1 + Dt dengan mengambil Dt mendekati nol (Dt  0). Pernyataan tersebut dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut.


Dengan menggunakan konsep limit, Anda dapat menentukan kecepatan pada saat t = 1 jam.

Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut.
Diagram alur limit fungsi trigonometri

A. Limit Fungsi

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali Anda mendengar kata-kata hampir atau mendekati. Misalnya, Ronaldo hampir mencetak gol, kecepatan motor itu mendekati 120 km/jam, dan sebagainya. Kata hampir atau mendekati dalam matematika disebut limit.

1. Pengertian Limit

Dalam matematika, limit merupakan nilai hampiran suatu variabel pada suatu bilangan real.
Notasi dijabarkan sebagai "limit fungsi f(x) pada saat x mendekati a sama dengan L". Suatu limit dikatakan ada jika limit tersebut memiliki limit kiri dan limit kanan yang sama. Limit kiri adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kiri yang dinotasikan .  Sedangkan limit kanan adalah pendekatan nilai fungsi real dari sebelah kanan yang dinotasikan  . Untuk lebih memahaminya perhatikan uraian berikut. Misal, diberikan suatu limit fungsi
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki apakah limit kanan dan limit kirinya sama.

•  4x = 4 (4) = 16, karena x < 4

•   4x + 6 =  4x +  6= 16 + 6 = 22

Oleh karena nilai limit kiri dan nilai limit kanan berbeda, limit fungsi tersebut tidak ada.

Selanjutnya, perhatikan bentuk fungsi berikut.
Limit fungsi tersebut, tidak terdefinisi di x = 3 karena daerah asal fungsi f adalah{x | x ≠ 3).

Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel berikut.

Tabel 1.

x
2,99
2,999
2,9999 →

← 3,0001
3,001
3,01
 
5,99
5,999
5,9999 →

← 6,0001
6,001
6,01

Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6.

Jadi,
 = x + 3 ; jika x  3
Oleh karena x + 3 mendekati 6 jika x mendekati 3 maka  mendekati 6 jika x mendekati 3.

Meskipun fungsi f(x) tidak terdefinisi untuk x = 3, tetapi fungsi tersebut mendekati nilai 6 pada saat x mendekati 3. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa nilai limit fungsi tersebut adalah 6.

Selanjutnya, perhatikan pula bentuk fungsi berikut.
Untuk mengetahui apakah limit tersebut ada, selidiki apakah limit kanan dan limit kirinya sama, seperti pada tabel berikut.

Tabel 2.

x
2,99
2,999
2,9999 →

← 3,0001
3,001
3,01
 
5,99
5,999
5,9999 →

← 6,0001
6,001
6,01

Berdasarkan tabel di atas, dapat Anda ketahui bahwa pada saat x mendekati 3, nilai fungsi f(x) mendekati 6. Jadi,
Dapat disimpulkan bahwa limit  dapat diperoleh tanpa menggunakan Tabel 7.2. Ketika x mendekati 3, nilai x + 3 akan mendekati 6.

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :
Secara umum, f(x) = L mengandung arti bahwa jika x mendekati atau menuju ke a, tetapi berlainan dengan a maka f(x) menuju ke L.

Contoh Soal Limit Fungsi 1 :

Tentukan limit berikut.
1.  (2x – 4)
2.  (x2 – 5x + 6)

Pembahasan Soal Limit Fungsi :

1.  (2x – 4), artinya jika x mendekati 2 maka (2x – 4) mendekati (2 · 2 – 4) = 0. Dengan demikian,  (2x – 4) = 0.
2.  (x2 – 5x + 6), artinya jika x mendekati 4 maka (x2 – 5x + 6) akan mendekati (42 – 5.4 + 6) = 2. Jadi,  x2 – 5x + 6) = 2.

Contoh Soal 2 :

Diketahui f (x) = 

Tentukan:

a. nilai fungsi di titik 0
b. nilai limit di titik 0.

Penyelesaian :

a. f(0) = 5
b. 

Contoh Soal 3 :
Diketahui limit 

Tentukan nilai limit tersebut.

Jawaban :

 x + 5

= 5 + 5
= 10

Ingatlah :

Untuk menghitung  , sebaiknya  difaktorkan, lalu disederhanakan, sebelum menyubstitusikan x = 0 karena jika x = 0 disubstitusikan secara langsung maka diperoleh  dan ini bentuk tidak tentu.

2. Limit Fungsi Aljabar

Limit konstanta k unk tuk x mendekati a ada dan nilainya sama dengan k, ditulis  k = k. Secara grafik, hal tersebut dapat Anda lihat pada Gambar 1.
Grafik fungsi f(x) = k
Gambar 1. Grafik fungsi f(x) = k.
Pandang fungsi f(x) = k maka  f(x) =  k = k. Limit x untuk x mendekati a pun ada dan nilainya sama dengan a, ditulis  x = a.

Untuk mengetahui adanya limit secara mudah, Anda dapat menggunakan teorema berikut.

Teorema Limit Utama

Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi dan k konstanta maka :

1.  (f (x) + g(x)) =  f (x) +  g(x)
2.  (f (x) – g(x)) =  f (x) –  g(x)
3.  (f (x) · g(x)) =  f (x) .  g(x)
4. ; g(x) ≠ 0
5.  k f (x) = k  f (x); k = konstanta
6.  [f (x)]n = ; dengan n bilangan bulat positif
7.  ; dengan  f (x) ≥ 0

a. Cara Menentukan Limit dengan Substitusi Langsung

Ada beberapa fungsi yang nilai limitnya dapat ditentukan dengan cara substitusi langsung seperti contoh berikut.

Contoh Soal Limit Fungsi Aljabar 4 : 

Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.

1.  (x3 + 4x + x - 6)
2. 

Penyelesaian Soal Limit Fungsi Aljabar :

1.  (x3 + 4x + x - 6) = (–4)3 + 4(–4)2 + (–4) – 6 = –10
2.  = 1

b. Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

Jika dengan cara substitusi langsung pada  diperoleh bentuk  (bentuk tak tentu), lakukan pemfaktoran terlebih dahulu terhadap f (x) dan g(x). Kemudian, sederhanakan ke bentuk paling sederhana. Agar lebih jelas, perhatikan uraian berikut.


Dalam hal ini P(a) ≠ 0 dan Q(a) ≠ 0.

Pertanyaan: Mengapa f (x) dan g(x) boleh dibagi oleh (x – a)?

Contoh Soal 5 (Soal PPI, 1979) :

contoh soal limit

Aktivitas Matematika
Bersama kelompok belajar Anda, lakukan kegiatan menghitung limit bentuk  . Permasalahannya adalah menentukan . Langkah-langkah yang dapat Anda lakukan adalah sebagai berikut.

Langkah ke-1

Menyubstitusikan x = 1 ke dalam fungsi yang dicari nilai limitnya, yaitu :


Langkah ke-2
Agar tidak muncul bentuk  faktorkanlah x2 – 1, kemudian sederhanakan sebagai berikut.


Langkah ke-3

Setelah fungsi yang dicari limitnya disederhanakan, substitusikan x = 1 pada limit fungsi yang sederhana itu, sebagai berikut.

 (... + ...) = ... + ... = ...

Jadi, 

Contoh soal 6 :

Tentukan limit fungsi-fungsi berikut.

1. 
2. 
3. 

Pembahasan :

1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh :

 (bentuk tak tentu). Agar tidak muncul bentuk  , faktorkanlah x2 – 4 sebagai berikut.

Menentukan Limit dengan Cara Memfaktorkan Terlebih Dahulu

2. Dengan cara substitusi langsung, diperoleh :

Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah x + 3 sebagai berikut.

menentukan limit dengan substitusi langsung
3. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah diperoleh bentuk  . Agar tidak muncul bentuk , faktorkanlah (3x3 + 3x) dan (2x3 – 8x) sebagai berikut. 

menentukan limit dengan substitusi langsung

c. Menentukan Limit dengan Mengalikan Faktor Sekawan

Jika pada  diperoleh bentuk tak tentu . untuk x = a dan sulit untuk memfaktorkan f(x) dan g(x), lakukan perkalian dengan faktor sekawan dari g(x) atau f(x). Agar lebih jelas, pelajari contoh berikut.

Contoh Soal 7 :

Tentukan limit berikut.

a. 

b. 

Jawaban :

1. Jika dengan cara substitusi langsung, diperoleh :

 (bentuk tak tentu).

Agar tidak muncul bentuk tak tentu, kalikanlah  dengan  , sebagai berikut.

menentukan limit dengan substitusi langsung

2. Coba Anda kerjakan dengan cara substitusi langsung. Apakah diperoleh bentuk  ? Agar tidak muncul bentuk  kalikanlah  dengan faktor sekawannya, sebagai berikut.

menentukan limit dengan substitusi langsung faktor sekawan

3. Limit Tak Hingga dan Limit Fungsi di Tak Hingga

Lambang ∞ (dibaca: tak hingga) digunakan untuk menyatakan nilai bilangan yang semakin besar. Jadi, ∞ bukan merupakan lambang bilangan dan tidak dapat dioperasikan secara aljabar sehingga tidak benar ∞ – ∞ = 0 atau  = 1.

Amati fungsi berikut.


Fungsi f tidak terdefinisi di x = 0 sebab pembagian bilangan satu hanya terdefinisi jika pembagi ≠ 0. Anda dapat menentukan f (x) =  pada beberapa nilai x yang mendekati 0 seperti diperlihatkan pada Tabel 3.

x
 
–0,01
10.000
–0,001
1.000.000
–0,0001
100.000.000
–0,00001
10.000.000.000
0
?
0,00001
10.000.000.000
0,0001
100.000.000
0,001
1.000.000
0,01
10.000

Amati tabel tersebut. Jika x menuju 0 maka nilai  bernilai positif yang semakin membesar tanpa batas. Dalam lambang matematika ditulis .
Grafik f(x) = 1/ x2
Gambar 2. Grafik f(x) = 
Bentuk grafik fungsi seperti ini diperlihatkan pada Gambar 2.

Tabel 4. memperlihatkan nilai  untuk nilai x yang menjadi sangat besar.

Tabel 4.

 x
1
10
1.000
10.000
100.000
?
 
1
0,01
0,000001
0,00000001
0,0000000001
0

Amatilah tabel tersebut, ternyata nilai  menuju 0 jika x menjadi sangat besar. Dalam lambang matematika, ditulis .

Lain halnya dengan fungsi f (x) = x2. Ketika x menjadi sangat besar maka nilai x2 pun bernilai semakin besar tanpa batas. Dalam lambang matematika, ditulis :

 (Amati kembali Gambar 2)

Untuk fungsi g(x) = , ketika x menjadi sangat besar maka nilai  pun bernilai semakin besar tanpa batas. Dalam lambang matematika, ditulis .

Untuk menyelesaikan limit fungsi tak hingga Anda dapat menggunakan Teorema Limit Utama. Pelajari contoh-contoh berikut.

menyelesaikan limit fungsi tak hingga Anda dapat menggunakan Teorema Limit Utama

Perhatikan, ketika x semakin membesar tanpa batas, nilai  menuju 1, sedangkan nilai  menuju nol. Akibatnya, nilai  membesar tanpa batas.

Dengan demikian, 

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum limit? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep limit yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan limit berikut.

Ingatlah :

Dari Gambar 2, jika x menjadi sangat kecil (x  ∞) maka nilai  menuju 0. Dalam lambang matematika ditulis  = 0.

Contoh Soal 8 : Soal SKALU, 1978

 sama dengan ....

Penyelesaian :
pembahasan soal limit fungsi
Ingatlah :
Pada soal a, pembilang dan penyebut bentuk  masing-masing dibagi dengan x karena jika disubstitusikan secara langsung diperoleh bentuk . Dengan penalaran yang sama, pembilang dan penyebut fungsi pada soal b, c, d, dan e masing-ma sing harus dibagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang
supaya tidak diperoleh bentuk .

Secara umum, 

• , jika pangkat tertinggi f(x) = pangkat tertinggi g(x);

•  = 0, jika pangkat tertinggi f(x) < pangkat tertinggi g(x);

• , jika pangkat tertinggi f(x) > pangkat tertinggi g(x);

dengan f(x) dan g(x) keduanya merupakan fungsi polinom.

Cara lain untuk memperoleh penyelesaian limit fungsi adalah mengalikan dengan faktor sekawan. Pelajari contoh-contoh berikut.

penyelesaian limit fungsi adalah mengalikan dengan faktor sekawan
Informasi untuk Anda :

Lambang tak hingga yang digunakan sekarang (∞), kali pertama diperkenalkan oleh John Wallis (1616–1703) pada tahun 1655 dalam jurnalnya yang berjudul On Conic Sections. (Sumber: www.DrMath.com)


Pada Subbab A telah dipelajari limit fungsi aljabar. Kali ini akan dipelajari limit fungsi trigonometri. Awali bagian ini dengan mempelajari sifat berikut.

 sin in x = sin 0 = 0

 cos x = cos p = –1

limit cos x

1. Menentukan Rumus Limit Fungsi Trigonometri Sifat Prinsip Apit

Amati Gambar 3.
f, g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat a, kecuali mungkin di a
Gambar 3. Grafik f, g, dan h adalah fungsifungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat a, kecuali mungkin di a.
Diketahui f, g, dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat a, kecuali mungkin di a. Jika  f (x) =  h(x) = L maka g(x) = L.
Sekarang amati Gambar 4(a). Diketahui, 0 < t<  . Ketika t  0 maka titik P bergerak ke arah A(1, 0) sehingga :

 cos t = 1 dan sin t = 0.

Perpanjangan  dan garis tegak lurus sumbu-x yang melalui A akan berpotongan di titik T(1, tan t) seperti diperlihatkan pada Gambar 4 (b).
Grafik Limit Fungsi Trigonometri
Gambar 4. Grafik Limit Fungsi Trigonometri.
Sekarang amati OAP, tembereng OAP, dan OAT pada Gambar 4(b). Dari hasil pengamatan tentunya Anda memahami bahwa :

luas OAP ≤ luas juring OAP ≤ luas OAT ....(1)

Anda ketahui:

luas OAP = 1/2 alas × tinggi = 1/2 x 1 x sin t = 1/2 sin t,

luas juring OAP = 1/2 x jari-jari × sudut dalam radian = 1/2 x 12 x t = 1/2t, dan 

luas OAT = 1/2 alas × tinggi = 1/2 x 1 x tan t = 

Dengan demikian, ketidaksamaan (1) dapat dituliskan sebagai :

 .... (2)
Kalikan ketidaksamaan (2) dengan bilangan positif  , diperoleh :

Sampai uraian ini anggaplah 0 < t < . Akan tetapi, jika  < t < 0 maka 0 < –t <  sehingga cos (–t) ≤  ≤ 1

cos t ≤  ≤ 1         ....(3)

Dalam ketidaksamaan (3), misalkan t  0, f (t) = cos t, g(t) =  , dan h(t) = 1.

Anda tentu memahami bahwa  f(t) ≤  g(t) ≤  h(t).

Untuk t = 0 maka f(t) cos t = cos 0 = 1 dan karena h(t) = 1 maka 1 ≤  ≤ 1. Dalam hal ini tidak ada kemungkinan lain kecuali  = 1. Dengan demikian,  g(t) = =  1.

Dapatkah Anda membuktikan bahwa :

Silakan buktikan sendiri.

2. Cara Menentukan Limit Fungsi Trigonometri

Setelah Anda memahami rumus limit fungsi trigonometri, pelajari cara menentukan limit fungsi trigonometri tersebut. Dalam beberapa hal, cara menghitung limit fungsi trigonometri sama dengan cara menghitung limit fungsi aljabar. Oleh karena itu, teorema limit utama pada Subbab A.2 berlaku juga untuk limit fungsi trigonometri.

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri 9 :

Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.

1. 

2. 

Penyelesaian :

1.  = 1 (sesuai rumus)

2.
menghitung limit fungsi trigonometri
Contoh Soal 10 :

Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.

a. 

b. 

c. 

Pembahasan :

pembahasan limit fungsi trigonometri

Contoh Soal 11 :

Tentukanlah  bagi fungsi-fungsi berikut ini.

1. f(x) = cos x 
2. f(x) = sin x

Jawaban :

pembahasan menentukan limit dari fungsi
Contoh Soal 12 :

Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut.

a. 

b. 

Penyelesaian :

pembahasan limit fungsi trigonometri
Contoh Soal 13 :

Hitunglah:

a.  tan 3x sec 2x
b.  (cosec2 x - cos ec x cos x)

Penyelesaian :

penyelesaian menetukan limit dari fungsi

Contoh Soal 14 : Soal UMPTN 1998

soal limit fungsi

Anda sekarang sudah mengetahui Limit Fungsi. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.



Pengunjung dapat menyalin materi di blog ini menggunakan Browser Google Chrome. Google Chrome
Bacalah terlebih dahulu Panduan Pengunjung jika anda ingin menggunakan materi dari blog ini.
DMCA.com

Masukkan Kata Kunci




Artikel Terkait :

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.