Tuesday, June 3, 2014

Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Melalui Suatu Titik di Dalam dan Luar Lingkaran, Gradien, Contoh Soal, Pembahasan, Matematika

Berikut ini adalah materi lengkapnya : (Baca juga : Persamaan Lingkaran)

1. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran

Titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran x2 + y2 = r2, seperti diperlihatkan pada Gambar 1. 
Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran
Gambar 1. Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada Lingkaran.
Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P adalah mOP =  . Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas OP  g sehingga mOP·mg = –1 atau mg =  . Akibatnya, gradien garis g adalah :
Jadi, persamaan garis singgung g adalah :

y – y1 = mg(x – x1) ↔ y – y1 = x1/y1 (x – x1)
↔ y1(y – y1) = –x1(x – x1)

↔ x1x + y1y = x12 + y12 .... (i)


Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2

sehingga :

x12 + y12 = r2 ....(ii)

Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh :

g: x1x + y1y = r2

Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1, y1) dan terletak pada lingkaran :

L : x2 + y2 = r2

Anda pun dapat menentukan persamaan garis singung g melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada lingkaran

L : (x – a)2 + (y – b) = r2 dengan pusat di M(a, b) dan jari-jari r, yaitu :

g: (x – a) (x1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2

Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut. Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapa orang saja).

Diketahui titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar 2. 
titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Gambar 2. Titik P(x1, y1) terletak pada garis g dan lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0.
Gradien garis yang menghubungkan titik T dan titik P adalah :
Garis g menyinggung lingkaran maka :

 TP dan mg. mMP = –1 sehingga :
Jadi, persamaan garis singgung g adalah :

y – y1 = mg (x – x1)

y – y1 =  (x – x1)

(y – y1) (y1 – b) = – (x1 – a) (x – x1)
y1y – by – y12 + y1b = –x1x + x12 + ax – ax1

y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = x12 + y12 .... (1)


Titik P(x1, y1) terletak pada lingkaran L sehingga diperoleh :

x12 + y12 + Ax1 + By1 + C = 0

x12 + y12 = – (Ax1 + By1 + C) .... (2)


Substitusikan (2) pada (1), diperoleh :

y1y – by + y1b + x1x – ax + ax1 = – (Ax1 + By1 + C) .... (3)

Dari uraian sebelumnya, diperoleh : -1/2 A = a, -1/2 B = b, .... (4)

Substitusikan (4) pada (3) sehingga persamaan (3) menjadi :

y1y + ½ B y – ½ B y1 + x1x + ½ Ax – ½ A x1 = – Ax1 – By1 – C

y1y + ½ B y + ½ y1 + x1x + ½ A x + ½ A x1 + C = 0

x1x + y1y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1, y1) dan terletak pada lingkaran L: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 adalah :

xx1 + yy1 + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

Contoh Soal 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 di titik (4, –3).

Penyelesaian :

Titik (4, –3) terletak pada lingkaran sebab 42 + (–3)2 = 25. Persamaan garis singgung g: x1x + y1y = r2 dengan x1 = 4 dan y1 = –3 adalah 4x – 3y = 25.

Contoh Soal 2 :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x + 2)2 + (y – 1)2 = 25 di titik (–6, 4).

Pembahasan :

Titik (–6, 4) terletak pada lingkaran karena (–6 + 2)2 + (4 – 1)2 = 25. Diketahui a = –2 dan b = 1 maka persamaan garis singgung :

(x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2
(x1 + 2)(x + 2) + (y1 – 1) (y – 1) = 25

Untuk x1 = –6 dan y1 = 4 diperoleh :

(–6 + 2) (x + 2) + (4 – 1) (y – 1) = 25
–4 (x + 2) + 3(y – 1) = 25
–4x – 8 + 3y – 3 = 25
–4x + 3y = 14

2. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran

Diketahui titik P(x1, y1) berada di luar lingkaran :

L: x2 + y2 = r2 … (1)

Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui :

P(x1, y1) adalah :
g: y = y1 + m(x – x1) …(2).

Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat menyubstitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena g menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat diperoleh. Apabila nilai mdiketahui, Anda dapat menentukan persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut.

Contoh Soal 3 :

a. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 25 yang dapat ditarik dari titik (7, –1).
b. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.
c. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgung.

Jawaban :

a. Titik P (7, –1) terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan hal ini.

Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, –1) dengan gradien m adalah :

y + 1 = m(x – 7)
 y = mx – 7m – 1 ... (1)

Substitusi (1) ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25, diperoleh :

x2 + (mx – 7m – 1)2 = 25
x² + m²x² – 14m²x – 2mx + 49m² + 14m + 1 = 25
(1 + m²)x² – (14m² + 2m)x + (49m² + 14m – 24) = 0

Nilai diskriminan, yaitu :

D = (14m² + 2m)² – 4 (1 + m²) (49m² + 14m – 24)
D = 196m4 + 56m3 + 4m² – 100m² – 56m + 96 – 196m4 – 56m3
D = –96m² – 56m + 96

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga :

D = b2 − 4.a.c = 0

⇔ (−2m² + 14m)2 − 4(m2 + 1)(m2 − 14m + 24) = 0
⇔ 4m4 − 56m3 + 196m² − 4m4 + 56m3 − 96m² − 4m² + 56m − 96 = 0
⇔ 196m² − 96m² − 4m² − 56m − 96 = 0
⇔ 96m² + 56m − 96 = 0
⇔ 12m² + 7m − 12 = 0
(3m + 4)(4m − 3) = 0
m = 3/− 4 atau m = 4/3

Untuk m = 3/− 4 , maka persamaan garis singungnya adalah 4x + 3y − 25 = 0
Untuk m = 4/ 3 , maka persamaan garis singungnya adalah 3x − 4y + 25 = 0

b. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: 4y – 3x + 25 = 0 dengan lingkaran.

l: 4y – 3x x + 25 = 0 atau l: y = 3/4 x - 25/4

Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh :

x2 + (3/4 x - 25/3) 25 ⇔ x2 + 9/16 x2 - 75/8 x + 625/16 = 25

⇔ 25/16 x2 - 75/8 x + 625/16 = 25
⇔ 25x2 – 150x + 225 = 0
⇔ x2 – 6x + 9 = 0
⇔ (x – 3)2 = 0
⇔ x = 3.

Coba Anda substitusikan x = 3 pada persamaan garis singgung y = 3/4x - 25/4

Apakah Anda memperoleh titik singgung A (3, –4)?

Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: 3y + 4x – 25 = 0 dengan lingkaran :

g: 3y + 4x – 25 = 0 atau g: y = -4/3 x + 25/3

Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x2 + y2 = 25 diperoleh :

x2 + (4/3 x + 25/3) = 25 ⇔ x2 + 16/9 x2 - 200/9 x + 625/9 = 25

⇔ 25/9 x2 - 200/9 x + 625/9 = 25
⇔ 25x2 – 200x + 400 = 0
⇔ x2 – 8x + 16 = 0
⇔ (x – 4)2 = 0
⇔ x = 4

Coba Anda substitusikan x = 4 pada persamaan garis singgung  :
Apakah Anda memperoleh titik singgung B(4, 3)?

Jadi, koordinat titik singgung adalah A(–3, 4) dan B(4, 3).

c. Persamaan garis yang melalui titik A(–3, 4) dan B(4, 3) diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis :


7y – 28 = –x – 3
x + 7y = 25

Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan B adalah x + 7y = 25.

Contoh Soal 4 : Soal Ebtanas 1998

Persamaan garis singgung melalui titik (9, 0) pada lingkaran x2 + y2 = 36 adalah :

Jawaban :

Misalkan, persamaan garis singgung

y – 0 = m(x – 9)
y = mx – 9m

maka L

x2 + (mx – 9)2 = 36
x2 + m2x2 – 18mx + 81 = 36
(1 + m2)x2 – 18mx + 45 = 0

syarat menyinggung:

(18m)2 – 4(1 +m2)(45) = 0
324m2 – 180m2 – 180 = 0
144m2 = 180
Persamaan garis singgung melalui titik (9, 0) pada lingkaran x2 + y2 = 36

3. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu

Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g: y = mx + n. Jika titik Pterletak pada g dan lingkaran x2 + y2 = r2 maka,

x2 + (mx + n)2 = r2 ⇔ x2 + m2x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0
⇔ (m2 + 1)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0

Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian, (2mn)2 – 4(m2 + 1) (n2 – r2) = 0
⇔ 4m2n2 – 4m2n2 + 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
⇔ 4m2r2 – 4n2 + 4r2 = 0
⇔ 4n2 = 4m2r2 + 4r2
⇔ n2 = (m2 + 1)r2
 atau 
Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh : 
Persamaan garis singgung lingkaran L: x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah :
Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran L: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 untuk gradien m dengan titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu :
Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut, hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa siswa saja).

Contoh Soal 5 :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4 dengan gradien m = –1.

Kunci Jawaban :

Persamaan garis untuk gradien m = –1 adalah y = (–1) x + n atau y = –x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran, diperoleh :

x2 + (–x + n)2 = 4 ⇔ x2 + x2 – 2nx + n2 = 4
2x2 – 2nx + (n2 – 4) = 0

Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah

D = 4n2 – 8(n2 – 4)
0 = –4n2 + 32
n2 = 8
 atau 
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah  dan 

Contoh Soal 6 :

Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 dengan gradien m = –1.

Penyelesaian :
Persamaan lingkaran (x – 2)2 + (y – 3)2 = 8 mempunyai jari-jari . Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah :
y – b = m (x – a) ±  ⇔ y – 3 = (–1)(x – 2) ± 
⇔ y – 3 = –x + 2 ± 4
⇔ y = –x + 5 ± 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

g1: y = –x + 9 dan
g2: y = –x + 1.

Contoh Soal 7 :

Garis g menghubungkan titik A(5, 0) dan titik B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika θ berubah dari 0 sampai 2π maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

Pembahasan :

Langkah ke-1
Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal.

Diketahui : • garis g menghubungkan A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ)

• AP : PB = 2 : 3

Ditanyakan : Persamaan kurva.

Langkah ke-2
Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan, konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran.

Langkah ke-3

Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah diketahui.

A(5, 0) dan B(10 cos θ, 10 sin θ). Titik P pada AB sehingga AP : PB = 3 : 2

Amati gambar berikut.
P pada AB sehingga AP : PB = 3 : 2


OP = OA + 2/5 AB
OP = OA + 2/5 (OB – OA)
OP = 3/5 OA + 2/5 OB

Persamaan parameter titik P adalah :

x = 3/5 . 5 + 2/5 . 10 cos θ = 3 + 4 cos θ:
y = 3/5 . 0 + 2/5 . 10 cos θ = 4 sin θ.

Dengan demikian, x = 3 + 4 cos θ  4 cos θ = x – 3
y = 4 sin θ  4 sin θ = y
(4 cos θ)2+ (4 sin θ)2 = (x – 3)2 +  y2
16 (cos2 θ + sin2 θ ) = x2 – 6x + 9 + y2
x2 + y2 – 6x = 7

Jadi, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 6x = 7.

Anda sekarang sudah mengetahui Garis Singgung Lingkaran. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

1 comment:

  1. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran berikut melalui titik yang ditentukan.
    > x 2 + y2 - 6x - 8y + 20 = 0 dari titik T(0, 0)
    > x 2 + y2 = 16 melalui titik M(4, 8) atau titik N(-4, -3)
    >(x + 3)2 + (y - 5)2 = 25 dari titik S(2, 0) atau titik R(-8, 1)
    > x 2 + y 2 - 4x - 2y + 4 = 0 dari T(3, 7) atau titik K(1, -4)

    ReplyDelete

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.

Search