Rumus Contoh Soal Suku Banyak Matematika, Materi, Teorema Faktor dan Sisa, Persamaan, Nilai, Pembagian Biasa, Bentuk Umum, Horner, Substitusi

Leave a Comment
Anda telah mempelajari fungsi aljabar di SMP, misalnya fungsi y = x2 – 1. Fungsi y = x2 – 1 merupakan fungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akan dikembangkan sehingga Anda akan mempelajari bagaimana menjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku banyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Anda pelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari bab ini untuk menyelesaikan masalah berikut. Hubungan antara jarak yang ditempuh x(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t) = 48t2 – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam menit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Anda dapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.

A. Pengertian Suku Banyak

1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak, Koefisien Suku Banyak, dan Suku Tetap

Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri, seperti diperlihatkan pada Gambar 1.
grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri
Gambar 1. Grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri.
Adapun grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3 dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 2.
grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3 dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke kanan
Gambar 2. Grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3 dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke kanan.
Amati keempat persamaan berikut.

y = x2
y = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4
y = x3
y = (x – 1)3 = x3 – 3x2 + 3x – 1

Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x3, suku ke-2 adalah –3x2, suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4 adalah –1.

Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat dari suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku banyak dari x3x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.

Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suku banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat n secara umum. Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajat n ditulis sebagai berikut.

P(x) = anxn + an–1 xn–1 + an–2 xn–2 +… + a2 x2 + a1x + a0

Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x yang berkurang dengan anan–1 , … , a1 adalah koefisien-koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dan an ≠ 0.

a0 = suku tetap yang merupakan konstanta real
n = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacah

2. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Suku Banyak

Diketahui, f(x) = –3x3 – x2 + 2x dan g(x) = x8 + 2x5 – 15x2 + 6x + 4

• Penjumlahan suku banyak f(x) dengan g(x) adalah : 

f(x) + g(x)= (–3x3 – x2 + 2x) + (x8 + 2x5 – 15x2 + 6x + 4) = x8 + 2x5 – 3x3 – 16x2 + 8x + 4

• Pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) adalah :

f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))
= (–3x3 – x2 + 2x) + (–x8 – 2x5 + 15x2 – 6x – 4)
= –x8 – 2x5 – 3x3 + 14x2 – 4x – 4

• Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) adalah :

f(x) × g(x) = (–3x3 – x2 + 2x) (x8 + 2x5 – 15x2 + 6x + 4)
= –3x11 – 6x8 + 45x5 – 18x4 – 12x3 – x10 – 2x7 + 15x4 – 6x3 – 4x2 + 2x9 + 4x6 – 30x3 + 12x2 + 8x
= –3x11 – x10 + 2x9 6x8 2x7 + 4x6 + 45x5 – 3x4 – 48x3

Cobalah Anda tentukan g (x) – f(x) dan g(x) × f(x).

Apakah f(x) – g(x) = g(x) – f(x)?
Apakah f(x) × g(x) = g(x) × f(x)?

Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakan di depan kelas.

Ingatlah :

Misalkan, f(x) suku banyak berderajat m dan g(x) suku banyak berderajat n,
  • f(x) + g(x) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n. 
  • f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x)) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
  • f(x) × g(x) adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan (m + n).
Contoh Soal Suku Banyak 1 :

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.

f(x) = 2x4 – 3x2 + 5x – 6
g(x) = 2x2 – 7x + 10

Tentukan :

a. f(x) + g(x) 
b. f(x) – g(x)
c. f(x) × g(x)

Pembahasan :

a. f(x) + g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) + (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – x2 – 2x + 4
b. f(x) – g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 – 5x2 + 12x – 16
c. f(x) × g(x) = (2x4 – 3x2 + 5x – 6) – (2x2 – 7x + 10)
= 2x4 (2x2 – 7x + 10) – 3x2 (2x2 – 7x + 10) + 5x (2x2 – 7x + 10) – 6 (2x2 – 7x + 10)
= 4x6 – 14x5 + 20x4 – 6x4 + 21x3 – 30x2 + 10x3 – 35x2 + 50x – 12x2 + 42x – 60
= 4x6 – 14x5 + 14x4 + 31x3 – 77x2 + 92x – 60

B. Cara Menentukan Nilai Suku Banyak

1. Cara Substitusi
Anda dapat menentukan nilai g(x) = sin (1/x) untuk x = (2/π) dan x = , yaitu :
g (2/π) = sin  = sin (π/2) = 1
 = sin = sin π = 1

Akan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harus menentukan g(π) = sin (1/π) karena (1/π) bukan merupakan sudut istimewa.

Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai yang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapat menentukan nilai suku banyak itu.

Diketahui, suku banyak P(x) = 3x4 – 2x2 + 5x – 6 maka :

• untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)4 – 2(1)2 + 5(1) – 6 = 0
• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10
• untuk x = 0, diperoleh = –6
• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24
• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44

Kemudian, misalkan suku banyak P(x) = 5x3 + 4x2 – 3x – 2 maka :

• untuk x = k + 1, diperoleh :

P(k + 1) = 5 (k + 1)3 + 4 (k + 1)2 – 3 (k + 1) – 2
P(k + 1) = 5 k3 + 19 k2 + 20k + 4

• untuk x = k – 1, diperoleh :

P(k – 1) = 5 (k – 1)3 + 4 (k – 1)2 – 3 (k – 1) – 2 = 5k3 – 11k2 + 4k

• untuk x = –k

P(–k) = –5k3 + 4k2 + 3k – 2

• untuk x = –k + 1, diperoleh :

P(–k + 1) = –5k3 + 19k2 – 20k + 4

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus menentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.

Nilai suku banyak :

P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ...+ a2x2 + a1x + a0, untuk x = k di mana k suatu bilangan real adalah :

P(k) = ankn + an–1kn–1 + an–2kn–2 + ... + a2k2 + a1k + a0

2. Cara Skema

Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Anda menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara substitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.

Diketahui :

P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6

P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.

P(x) = 3x4 + 2x2 – 5x + 6
= 3x4 + 0x3 + 2x2 – 5x + 6
= (3x3 + 0x2 + 2x – 5) x + 6
= [(3x2 + 0x + 2) x – 5] x + 6
= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)

Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1) maka :

P(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.

P(x) = [[(3x + 0)x + 2] x – 5]x + 6
P(2) = [[(3.2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6.2 + 2)2 – 5]2 + 6
P(2) = (14.2 – 5) 2 + 6 = 23.2 + 6 = 52

Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.

• Langkah ke-1 menghitung (3.2) + 0 = 6
• Langkah ke-2 menghitung (6.2) + 2 = 14
• Langkah ke-3 menghitung (14.2) – 5 = 23
• Langkah ke-4 menghitung (23.2) + 6 = 52

Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan (skema) sebagai berikut.

Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan melalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada dua operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.

• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema, kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat tertinggi ke terendah dan suku tetap.
• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian dan penjumlahan.
• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.
Cara Skema suku banyak
Secara umum, perhitungan nilai suku banyak :

P(x) = anxn + an–1xn-1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0

untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan pada Gambar 3.

dengan:

An = an
An – 1 = An(k) + an – 1
An – 2 = An–1(k) + an – 2 . .
. .
. .
A2 = A3(k) + a2
A1 = A2(k) + a1
A0 = A1(k) + a0
Skema proses perhitungan P(k).
Gambar 3. Skema proses perhitungan P(k).
Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakan skema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku banyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).

Contoh Soal Suku Banyak 2 :

a. Hitunglah nilai f(x) = 2x4 – 4x3 + 4x – 2 untuk x = –6 menggunakan cara skema.
b. Suku banyak f(x) = 2x5 – 3x4 + 2x3 – px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?

Penyelesaian :

cara skema suku banyak nilai p

f(2) = 38
f(2) = 42 – 2p
 38 = 42 – 2p
 2p = 4
 p = 2

C. Pembagian Suku Banyak

1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Masih ingatkah Anda dengan pembagian bersusun pada bilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh 8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, Anda perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Amati perkalian-perkalian berikut.

a. (x + 1)(x + 2)(2x – 3) = (x2 + 3x + 2)(2x – 3) = 2x3 + 3x2 – 5x – 6
b. (x – 1)(x3 – 3) = x4 – x3 – 3x + 3

Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari perkalian (x + 1)(x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku banyak 2x3 + 3x2 – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.

Diketahui, P(x) = x3 – 7x2 + 4x + 50 adalah suku banyak berderajat 3.

Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa adalah sebagai berikut.
Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa
Coba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukan dalam pembagian tersebut. (x – 3) adalah pembagi dari P(x), sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x2 – 4x – 8 dan sisa pembagiannya adalah 26.

Jadi, (x3 – 7x2 + 4x + 50) : (x – 3) = x2 – 4x – 8 dengan sisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagai x3 – 7x2 + 4x + 50 = (x – 3 ) (x2 – 4x – 8) + 26 atau P(x) = (x – 3) × H(x) + sisa … (i),
dengan H(x) = x2 – 4x – 8 dan sisa = 26.

Jika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i), diperoleh :

P(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 × H(3) + sisa = sisa

Jadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadap P(x) adalah P(3).

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagian suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.

Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + .... + a2x2 + a1x + a0 adalah P(k) atau P(x) = (x – k) H(x) + sisa dengan sisa = P(k).

Informasi untuk Anda :

Ada beberapa lambang yang digunakan untuk pembagian. Lambang yang paling umum digunakan adalah seperti tanda kurung dengan garis horizontal pada bagian atasnya ( )). Tanda kurung diperkenalkan pada awal tahun 1500. Beberapa waktu kemudian, tanda garis horizontal ditambahkan. Adapun lambang “ : “ (disebut obelus) kali pertama digunakan sebagai pembagi sekitar tahun 1650. Lambang tersebut diperkenalkan oleh Matematikawan Inggris, John Pell.

Contoh Soal 3

Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3x4 + 2x2 + 5x – 1) : (x – 1)

Jawaban :

Sisa = P(1) = 3.14 + 2.12 + 5.1 – 1 = 9.

2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner

a. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)

Anda telah mengetahui P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + a2 x2 + a1x + a0 dibagi (x – k) hasil baginya adalah H(x) dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x) = (x – k)H(x) + sisa, dengan sisa = A0 = P(k).

Diketahui P(x) = a3x3 + a2 x2 + a1x + a0 dan (x – k) adalah pembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k) berderajat 1 maka derajat H(x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajat sisa adalah (1 – 1) = 0.

Diketahui, H(x) = b2 x2 + b1x + b0 dan sisa = Ao maka suku banyak P(x) dapat ditulis :
H(x) = b2 x2 + b1x + b0 dan sisa = Ao maka suku banyak P(x)
Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A0 dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Langkah ke-1: b2 = a3
• Langkah ke-2: b1 – b2k= a2 → b1 = a2 + b2k = a2 + a3k
• Langkah ke-3: b0 – b1k = a1 → b0 = a1 + b1k = a1+ (a2 + a3k)k = a1 + a2k + a3k2
• Langkah ke-4: A0 – b0k = a0 → A0 = a0 + b0k
= a0 + (a1 + a2k + a3k2)k
= a0 + a1k + a2k2 + a3k3.

Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0 dapat disajikan dalam skema berikut.
skema Proses perhitungan nilai b2, b1, b0, dan A0
Contoh Soal 4 :

a. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner.
b. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + px2 + 41x + 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p.

Pembahasan :

a.
hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner

Jadi, hasil bagi dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) oleh (x –5) adalah 4x2 + 10x + 64 dan sisanya adalah 305.

b.
Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + px2 + 41x + 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p

P(x) = 6x5 + 41x4 + 97x3 + px2 + 41x + 6 habis dibagi dengan (x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehingga 7.527 + 9p = 0

↔ 9p = –7.527
↔ p = 836 (1/3)

Ingatlah :

Dari Contoh 4 (a) diperoleh sisa pembagian adalah nol. Dikatakan suku banyak P(x) habis dibagi oleh ax + b.

b. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b) 

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak (x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu Anda harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x + 3/2).

Dengan demikian,

(x3 – 2x2 + 3x – 5) : (2x + 3) = (x3 – 2x+ 3x – 5) : 2(x + 3/2)

Dengan menggunakan cara Horner untuk x = – 3/2 diperoleh skema sebagai berikut.
cara Horner untuk x = – 3/2 diperoleh skema

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut.

Diketahui, k = - (b/a) maka bentuk (x – k) dapat dinyatakan sebagai :

Pembagian suku banyak P(x) oleh (x + b/a) memberikan hubungan berikut.

P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa
= 1/a (ax + b) H(x) + sisa
= (ax + b) + sisa ....(*)
Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi (ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian. Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan cara pembagian Horner untuk x = – (b/a).

Ingatlah :

Dari contoh tersebut, jika pembagian suku banyak menghasilkan sisa sama dengan nol, dikatakan P(x) habis dibagi oleh (x – k) dan (x – k) disebut faktor dari P(x).

Contoh Soal 5 :

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner.

Penyelesaian :

hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x3 – 10x2 + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner
Jadi, hasil baginya adalah  = 2x2 + 7 dan sisanya adalah 20.
c. Pembagian Suku Banyak dengan ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0

Pembagian (x3 – x2 + 4x – 4) oleh (x2 – 1) dapat dituliskan sebagai berikut:

P(x) = (x2 – 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x – 1) H(x) + (A1x + A0)
untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (AA1(1) ) = A1 + A0
untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A0 + A1(–1)) = – A1 + A0

Dari pembagian Horner ini diperoleh :
pembagian Horner x = 1


pembagian Horner x = -1

Dengan demikian, sisa pembagian adalah A0 + A1x, yaitu –5 + 5x.

Coba Anda tentukan pembagian (x3 – x2 + 4x –4) : (x2 – 1) dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat. Adapun hasil bagi ditentukan sebagai berikut.
pembagian (x3 – x2 + 4x –4) : (x2 – 1) dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat
Jadi, H(x) = b1x + b0 = x – 1. Coba amati kembali bagan tersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?

Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakan cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untuk P(x) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa dan skema Horner.


Diketahui, P(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + … + a2x2 + a1x + a0

Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku banyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax2 + bx + c), baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.

Sekarang amatilah persamaan berikut:

P(x) = f(x) . H(x) + S
P(x) : suku banyak yang dibagi
f(x) : pembagi
H(x) : hasil bagi
S : sisa pembagian

Jika P(x) berderajat n dan f(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat H(x) dan S masing-masing sebagai berikut.

• derajat H(x) adalah (n – m)
• derajat maksimum S adalah (m – 1)

1. Pembagian dengan Pembagi (ax + b)

Jika f(x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) maka hubungan antara P(x) dan f(x) dapat ditulis sebagai berikut.

P(x) = (ax + b) + S, berlaku untuk setiap x bilangan real.

Oleh leh karena f(x) berderajat satu maka S berderajat nol.

Jadi, konstanta S sama dengan A0.

Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema 1 :

Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(- b/a).

Bukti: harus ditunjukkan bahwa S = P (- b/a) Jika suku banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentuk pembagian itu dituliskan sebagai berikut :

P(x) = (ax + b) + S … (1)

Selanjutnya, substitusikan nilai x = - b./a ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
substitusikan nilai x = - b./a ke persamaan
Jadi, sisa = P(- a/b) Teorema terbukti.

Contoh Soal 6 :

Carilah sisa pembagian dari (4x3 + 2x2 – 4x + 6) : (x – 3) tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Jawaban :

Suku banyak P(x) = 4x3 + 2x2 – 4x + 6 dibagi dengan (x – 3) sisanya adalah

S = P (3/1) = P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).

Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x), diperoleh :

P(3) = 4.33 + 2.32 – 4.3 + 6 = 120.

Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.

Contoh Soal 7 :

Tentukanlah p agar pembagian (6x2 + 7x – 5) : (px – 1) menghasilkan sisa pembagian yang bernilai 0.

Kunci Jawaban :

Suku banyak P(x) = 6x2 + 7x – 5 dibagi dengan (px – 1), sisanya adalah :

S = P (1/p) (berdasarkan Teorema 1). Jadi, dengan mensubstitusikan x = 1/P ke dalam fungsi P(x), diperoleh :
sehingga sisa pembagian adalah :
Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku :
Sisa pembagian sama dengan nol
Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga :

–5p2 + 7p + 6 = 0
5p2 – 7p – 6 = 0

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh :

menggunakan rumus abc suku banyak
2. Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)

Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(x) = (x – a) (x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.

P(x) = (x – a) (x – b) H(x) + S … (1)

berlaku untuk setiap x bilangan real.

f(x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanya berderajat maksimum satu, atau S = A0 + A1x.

Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajat maksimum satu.

Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut.

P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + A1x + A0

Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai berikut.

• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisa :

P(a) = 0. H(a) + A1(a) + A0
P(a) = A1a + A0 … (2).

• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisa :

P(b) = 0. H(b) + A1(b) + A0
P(b) = A1b + A0… (3).

Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukan rumus berikut.
rumus Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)

Contoh Soal 8 ( Soal Ebtanas 1999) :

Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 – 1) sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 – 3x + 2) adalah ....

Jawaban :

(x2 – 1) = (x + 1)(x – 1)

Jika P(x) dibagi (x – 1), sisanya S = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.

Jika P(x) dibagi (x – 2) sisa S = f(2) = 1 (diketahui).

Jika P(x) dibagi (x2 – 3x + 2) = (x – 2)(x – 1) sisanya adalah :

P(x) dibagi (x2 – 3x + 2) = (x – 2)(x – 1) sisa
Jadi, S = 12x – 23

Contoh Soal 9 :

Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jika P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6), sisanya (3x – 6). Berapa sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4)?

Jawaban:

Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalam bentuk persamaan P(x) = (x – 2) H(x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 8.

Pernyataan P(x) dibagi oleh (x2 – x – 6) bersisa (3x – 6) dapat ditulis dalam persamaan

P(x) = (x – 3) (x + 2) H(x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

• Untuk x = 3, diperoleh P(3) = 3.
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –12.

Misalkan, sisa pembagian P(x) oleh x2 – 4 adalah S = A1 x + A0 maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan P(x) = (x + 2) (x – 2) H(x) + A1 x + A0 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

• Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 2A1 + A0 = 8 ....(*)
• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –2A1 + A0 = –12 ....(**)

Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh A0 = –2 dan A1 = 5 (coba buktikan!)

Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x2 – 4) adalah S = 5x – 2.

E. Teorema Faktor

1. Pengertian Teorema Faktor

Pandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b. Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika sisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibat dari Teorema 5.1, jika sisa 

P(x) = (ax + b)  + 0
 P(x) = (ax + b) dengan a ≠ 0.

Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatu faktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jika P(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa pembagiannya adalah 0 atau  = 0 maka ax + b adalah faktor dari P(x).

Ingatlah :

Selain untuk menentukan faktor suatu suku banyak, teorema faktor dapat pula digunakan untuk menentukan koefisien-koefisien suku banyak yang belum diketahui.

Contoh Soal 10 ::

Tentukan nilai k sehingga (x + 3a) merupakan faktor dari x3 + (ak + 2a) x2 + 18a3

Pembahasan :

Berdasarkan teorema faktor maka :

f(–3a) = 0
(–3a)3 + (ak + 2a) (–3a)2 + 18a3 = 0
–27a3 + (ak + 2a) 9a2 + 18a3 = 0
–27a3 + 9a3k + 18a3 + 18a3 = 0
(–27 + 9k + 36) a3 = 0
(9 + 9k) a3 = 0

atau

9 + 9k = 0
9k = –9
k = –1

Teorema 2 :

Jika P(x) = anxn + an–1 . xn–1 + . . . + a1 . x + a0 dengan ai bilangan bulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga nol dari P(x) maka p adalah pembagi a0.

Bukti :

Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x) maka :

P(p) = an pn + an–1 . pn–1 + … + a1 p + a0 = 0
an pn + an–1 . pn–1 +… + a1 p = –a0
p(an . pn–1 + an–1 . pn–2 + … + a1) = –a0

Oleh karena p adalah bilangan bulat dan ai juga adalah bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan bilangan bulat. Jadi, p pembagi dari a0 (terbukti).

Contoh Soal 11 :

Tentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x3 + 4x2 + x – 6.

Pembahasan :

P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu yang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari –6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan pada P(x).

• Untuk k = –1 → P(–1) = (–1)3 + 4(–1)2 + (–1) – 6 = –4.

P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).

• Untuk k = 1 → P(1) = 13 + 4 . 12 + 1 – 6 = 0.

P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).

• Untuk k = –2 → P(–2) = (–2)3 + 4(–2)2 – 2 – 6 = 0

P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).

• Untuk k = 2 → P(2) = 23 + 4 . 22 + 2 – 6 = 20

P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).

• Untuk k = –3 → P(–3) = (–3)3 + 4(–3)2 – 3 – 6 = 0

P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).

• Untuk k = 3 → P(3) = 33 + 4 . 32 + 3 – 6 = 60

P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).

Jadi, P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 mempunyai satu faktor linear (x – 1), (x + 2), dan (x + 3).

2. Penggunaan Teorema Faktor untuk Mencari Akar Persamaan Suku Banyak

Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:

P(x) = anxn + an–1 . xn–1 + … a1x + a0

(x – k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar persamaan P(x) = 0. Jika suku banyak P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.

Contoh Soal 12 :

Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.

Penyelesaian :

Akar bulat untuk x2 – 2x – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaitu

k = {±1, ±3}.

Suku banyak P(x) = x2 – 2x – 3 berderajat 2 sehingga maksimum banyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akar tersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 2)

• Untuk k = 1 → P(1) = 12 – 2 . 1 – 3 = –4.

P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.

• Untuk k = –1 → P(–1) = (–1)2 – 2(–1) – 3 = 0.

P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.

• Untuk k = 3 → P(3) = 32 – 2 . 3 – 3 = 0.

P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0.

Dua buah akar persamaan suku banyak x2 – 2x – 3 = 0 telah diperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akar-akar bulat untuk x2 – 2x – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.

Anda sekarang sudah mengetahui Suku Banyak. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.
Next PostNewer Post Previous PostOlder Post Home

0 komentar:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.