Rumus Contoh Soal Trigonometri SMA, Matematika, Sin Cos Tan α β, Sudut Ganda, Jumlah dan Selisih, Cara Menentukan dan Menghitung


Rumus Contoh Soal Trigonometri SMA, Matematika, Sin Cos Tan α β, Sudut Ganda, Jumlah dan Selisih, Cara Menentukan dan Menghitung - Pada bab ini, materi itu akan dikembangkan sampai ke rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut. Lebih lanjut, pada bab ini akan dibahas mengenai rumus trigonometri untuk sudut rangkap. Konsep-konsep trigonometri yang akan dibahas di bab ini sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi, misalnya dalam menjawab permasalahan berikut.

Sebuah roket yang ditembakkan ke atas membentuk sudut θ terhadap arah horizontal. Berapakah besar sudut θ agar roket mencapai jarak maksimum? Agar Anda dapat menjawab permasalahan tersebut, pelajari bab ini dengan baik.

A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Rumus untuk Cos (α ± β)

Amati gambar Gambar 1. dengan saksama.
lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r
Gambar 1. Lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r.
Gambar 1. menunjukkan lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari r. Amati lagi gambar tersebut dengan saksama. Dari gambar tersebut, diperoleh  :

OC=OB=OD=OA = r 

dan koordinat titik A, titik B, titik C, dan titik D, yaitu:

A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(r cos(α + β), r sin(α + β)), dan D(r cos β, –r sin β).

Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik, diperoleh :

d2AB = (AB)2 = (xA -  xB)2 + (yA - yB)

sehingga Anda dapat menentukan (AC)2 dan (DB)2, yaitu :

a. (AC)2 = [r cos (α + β) – r]2 + [r sin (α + β) – 0]2
(AC)= r2 cos2 (α + β) – 2r2cos (α + β) + r2 + r2 sin2 (α + β)
(AC)= r2 [cos2 (α + β) + sin2 (α + β)] + r2 – 2r2 cos (α + β)
(AC)= r2. 1 + r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos (α + β)

Jadi, (AC)2 = 2r2 – 2r2 cos (α + β)

b. (DB)2 = (r cos α – r cos β)2 + (r sin α + r sin β)2
(DB)= r2 cos2 α – 2r2 cos α cos β + r2 cos2 β + r2 sin2 α + 2 r2 sin α sin β + r2 sin2 β
(DB)= r2 (cos2 α + sin2 α) + r2 (cos2 β + sin2 β ) – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
(DB)= r2 + r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
(DB)= 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β

Jadi, (DB)2 = 2r2 – 2r2 cosα cos β + 2r2 sinα sin β

ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC = DB. 

Coba Anda kemukakan alasan mengapa ΔOCA kongruen ΔOBD.

Jadi, AC2 = DB2.
2r2 – 2r2 cos (α + β) = 2r2 – 2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
–2r2 cos (α + β) = –2r2 cos α cos β + 2r2 sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α + β), yaitu :

cos(α – β)= cos (α + (–β))
= cos α cos(–β) – sin α sin(–β)
= cos α cos β + sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

Contoh Soal 1 :

a. Hitunglah cos 75°.
b. Buktikan : 
cos alfa beta
Jawaban :

a. cos 75° = cos (45° + 30°) = cos 45° cos 30° – sin 45° sin 30°
cos 75 derajat


Contoh Soal 2 : (Ebtanas 1998)

Diketahui cos(A – B) = 3/5 cos A . cos B = 7/25. Tentukan nilai tan A . tan B

Penyelesaian :

nilai tan A kali tan B
2. Rumus untuk sin (α ± β)

Anda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudut komplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α + β) dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen berikut.

cos (90° – α) = sin α dan sin (90°– α) = cos α

Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudut komplemen, diperoleh :

sin (α + β) = cos [90° – (α + β)]
= cos [(90° – α) – β]
= cos (90° – α) cos β + sin (90° – α) sin β
= sin α . cos β + cos α . sin β

sehingga sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Rumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α + β), yaitu :
sin (α – β) = sin (α + (–β))
= sin α cos (–β) + cos α sin (–β)
= sin α . cos β – cos α . sin β

Jadi, sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, coba jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri rumus-rumus yang diberi kotak.

Contoh Soal 3 :

a. Hitunglah sin 15°.
b. Hitunglah sin 
sin 1/4 phi
Penyelesaian :

a. sin 15° = sin (45°–30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
sin 15°

b. Soal tersebut bentuknya sama dengan rumus sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) dengan :
sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β)
Dapatkah Anda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba.

3. Rumus untuk tan (α ± β)

Anda telah mempelajari bahwa :

tanα = sinα / cosα 

Kemudian, Anda juga telah mempelajari bahwa :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

dan,

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

Sekarang, pelajari uraian berikut.
tan(α + β)
Jadi,
tan(α + β)

Rumus tan(α – β) diperoleh dari rumus tan(α + β), sebagai berikut:
tan(α – β)
Jadi,
tan(α – β)
Contoh Soal 4 :

a. Jika tan 5° = p, tentukan tan 50°.
b. Dalam segitiga lancip ABC, diketahui sinC =  Jika tan A tan B = 13 maka tentukan tan A + tan B.

Pembahasan :
tan 50°
2. Langkah ke-1

Tuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal tersebut.

Diketahui: 
• sinC = 

• tan A tan B = 13
• ΔABC lancip.

Ditanyakan: Nilai (tan A + tan B).

Langkah ke-2

Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep sudut dalam suatu segitiga dan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut.

Langkah ke-3

Menentukan nilai (tan A + tan B) dengan strategi yang telah diketahui. Sudut-sudut dalam ΔABC berjumlah 180° sehingga :

A + B + C = 180°.
A + B + C = 180°
C = 180° – (A + B)
sinC . sin(A + B) = 

segitiga ABC lancip

Karena ΔABC lancip maka (A + B) terletak di kuadran II.
tan A + tan B

B. Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda

1. Rumus untuk sin 2α

Anda telah mengetahui bahwa :

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β.

Untuk β = α, diperoleh :

sin (α + α) = sin α cos α + cos α sin α
sin 2 α = 2 sin α cos α

Jadi, 

sin 2α = 2 sin α cos α

2. Rumus untuk cos 2α

Anda juga telah mempelajari bahwa :

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β.

Untuk β = α, diperoleh :

cos (α + α) = cos α cos α – sin α sin α
cos 2α = cos2α – sin2α

Jadi, 

cos 2α = cos2α – sin2α

Untuk rumus cos2α dapat juga ditulis :

cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1 – sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – 2 sin2α

Jadi, 

cos 2α = 1 – 2 sin2α

Sekarang, coba Anda tunjukkan bahwa :

cos 2α = 2 cos2α – 1

3. Rumus untuk tan 2α

Dari rumus :

tan(α + β)

Untuk β = α diperoleh :
tan(α + α)
Jadi,
tan 2α
Contoh Soal 5 :

a. Jika sin A = 6/10, dengan 0 < A < 1/2 π, tentukan sin 2A, cos 2A, dan tan 2A.
b. Buktikan bahwa :

Kunci Jawaban :

segitiga
a. Amati Gambar di atas Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh :

sin 2A, cos 2A, dan tan 2A

sin 1/2 θ
Contoh Soal 6 :

Sebuah meriam yang ditembakkan ke atas membentuk sudut θ terhadap arah horizontal (perhatikan Gambar 3.4). Diketahui kecepatan awal peluru meriam v0 m/s dan jarak R yang ditempuh peluru meriam memenuhi persamaan R = 1/16 V0 sinθ cosθ.
meriam ditembakkan horizontal
Penyelesaian :

a. Tunjukkan bahwa R = 1/32 V0 sinθ cosθ.

b. Carilah sudut θ yang memberikan R maksimum.

Jawab:

a. Langkah ke-1

Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan dari soal.

Diketahui:

• Kecepatan awal peluru meriam = V0 m/s.
• Jarak yang ditempuh peluru meriam = R.

Ditanyakan :

Menunjukkan R = 1/32 V0 sinθ cosθ.

Langkah ke-2

Menentukan konsep apa yang digunakan untuk menyelesaikan soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah rumus trigonometri untuk sudut ganda.

Langkah ke-3

Menunjukkan R = 1/32 V0 sinθcosθ.

menggunakan strategi yang telah diketahui.

Anda telah mengetahui sin 2θ = 2 sinθ cosθ sehingga :

sudut θ yang memberikan R maksimum

b. Untuk kecepatan awal V0, sudut θ terhadap arah horizontal mempengaruhi nilai R. Oleh karena fungsi sinus memiliki nilai maksimum 1, R akan maksimum ketika :

2θ = 90°  θ = 45°

C. Identitas Trigonometri

Anda sekarang sudah mengetahui Trigonometri. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.



Pengunjung dapat menyalin materi di blog ini menggunakan Browser Google Chrome. Google Chrome
Bacalah terlebih dahulu Panduan Pengunjung jika anda ingin menggunakan materi dari blog ini.
DMCA.com

Masukkan Kata Kunci




Artikel Terkait :

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.