Tuesday, June 3, 2014

Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus, Penjumlahan, Pengurangan, Contoh Soal, Jawaban, Jumlah Selisih, Trigonometri, Matematika

Berikut ini adalah perkalian, penjumlahan, dan pengurangan sinus dan cosinus,  :

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :

perkalian cosinus dan cosinus

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

perkalian sinus dan sinus

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

perkalian sinus dan cosinus

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus :

perkalian sinus dan cosinus
Contoh Soal 1 :

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15° 
b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan :

a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
= 1/2 (cos 90 + cos 60)°
= 1/2 (0 + 1/2) 
= 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0  - 1/2)  
= - 1/2

Contoh Soal 2 :

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian :

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°

Contoh Soal 3 : (Soal Ebtanas 2000)

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian :

= 4 sin 36° cos 72°sin 108° 
= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 
= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 
= 2 sin 36°[0 + sin 36°] 
= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°

2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus di  sub bab 1. dapat ditulis dalam rumus berikut.

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)

Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh

p + q = (α + β) + (α – β) = 2α

α = 1/2 (p + q) ............................ (13)

p – q = α + β – α + β = 2β

β = 1/2 (p - q) ............................ (14)

Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14) pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut?

cos p + cos q = 2 cos 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

cos p – cos q = –2 sin 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)

sin p + sin q = 2 sin 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

sin p – sin q = 2 cos 1/2 (p + q) sin (p – q)

Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.

Contoh Soal 4 :

sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°
= 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°
= 2 sin 60° cos 45°
sin 105° + sin 15°
Contoh Soal 5 :

cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)
= –2 sin 45° sin 30°
cos 75° – cos 15°
Contoh Soal 6 :

Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah ....

Jawaban :

sin 105° – sin 15° = 2 cos 1/2 (105° - 15°) sin 1/2 (105° - 15°)
sin 105° – sin 15°

Anda sekarang sudah mengetahui Perkalian Sinus dan Cosinus. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.

No comments:

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.

Search