Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus, Penjumlahan, Pengurangan, Contoh Soal, Jawaban, Jumlah Selisih, Trigonometri, Matematika


Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus, Penjumlahan, Pengurangan, Contoh Soal, Jawaban, Jumlah Selisih, Trigonometri, Matematika - Berikut ini adalah materi lengkapnya :

1. Perkalian Sinus dan Kosinus

Sebelumnya bacalah terlebih dahulu mengenai Trigonometri untuk mempelajari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

Sekarang, Anda akan mempelajari perkalian sinus dan kosinus. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), Anda akan memperoleh

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

Jadi, perkalian cosinus dan cosinus adalah :

perkalian cosinus dan cosinus

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (3)
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (4)

Dengan mengurangkan (4) terhadap (3), diperoleh :

cos(α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β

Jadi, perkalian sinus dan sinus adalah :

perkalian sinus dan sinus

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus adalah :

perkalian sinus dan cosinus

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (7)
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (8)

Dengan mengurangkan (8) terhadap (7), diperoleh

sin(α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β

Jadi, perkalian sinus dan cosinus :

perkalian sinus dan cosinus
Contoh Soal 1 :

Hitunglah:

a. cos 75° cos 15° 
b. –2 sin 15°sin 75°

Pembahasan :

a. cos 75° cos 15° = 1/2 (cos (75 + 15)° + cos (75 – 15)°)
= 1/2 (cos 90 + cos 60)°
= 1/2 (0 + 1/2) 
= 1/4

b. –2 sin 15° sin 75° = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°
= cos 90° – cos (–60)°
= cos 90° – cos 60°
= 0  - 1/2)  
= - 1/2

Contoh Soal 2 :

Buktikan 4 sin 72° cos 144° sin 216° = 1 – cos 144°.

Penyelesaian :

4 sin 72°cos 144°sin 216° = 2 sin 72°[2 sin 216°cos 144°]
= 2 sin 72°[sin(360°) + sin72°]
= 2 sin 72°[0 + sin72°]
= 2 sin cos 2 (72°)
= 1 – cos2(72°)
= 1 – cos144°

Contoh Soal 3 : (Soal Ebtanas 2000)

Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ....

Penyelesaian :

= 4 sin 36° cos 72°sin 108° 
= 2 sin 36° [2 sin 108° cos 72°] 
= 2 sin 36° [sin(108 + 72)° + sin (108 – 72)°] 
= 2 sin 36°[0 + sin 36°] 
= 2 sin2 36° = 1 – cos 2(36°)
= 1 – cos 72°

2. Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

Rumus perkalian sinus dan kosinus di  sub bab 1. dapat ditulis dalam rumus berikut.

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)
cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)
sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)
sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)

Misalkan, α + β = p dan α – β = q sehingga diperoleh

p + q = (α + β) + (α – β) = 2α

α = 1/2 (p + q) ............................ (13)

p – q = α + β – α + β = 2β

β = 1/2 (p - q) ............................ (14)

Coba Anda substitusikan persamaan (13) dan (14) pada rumus (9) sampai (12). Apakah Anda memperoleh kesimpulan berikut?

cos p + cos q = 2 cos 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

cos p – cos q = –2 sin 1/2 (p + q) sin 1/2 (p – q)

sin p + sin q = 2 sin 1/2 (p + q) cos 1/2 (p – q)

sin p – sin q = 2 cos 1/2 (p + q) sin (p – q)

Rumus tersebut mengubah (konversi) bentuk jumlah atau selisih dua kosinus atau dua sinus menjadi perkalian.

Contoh Soal 4 :

sin 105° + sin 15° = 2 sin 1/2 (105 + 15)° cos 1/2 (105 – 15)°
= 2 sin 1/2 (120)° cos 1/2 (90)°
= 2 sin 60° cos 45°
sin 105° + sin 15°
Contoh Soal 5 :

cos 75° – cos 15° = –2 sin 1/2 (75° + 15°) sin 1/2 (75° – 15°)
= –2 sin 45° sin 30°
cos 75° – cos 15°
Contoh Soal 6 :

Nilai dari sin 105° – sin 15° adalah ....

Jawaban :

sin 105° – sin 15° = 2 cos 1/2 (105° - 15°) sin 1/2 (105° - 15°)
sin 105° – sin 15°

Anda sekarang sudah mengetahui Perkalian Sinus dan Cosinus. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.



Pengunjung dapat menyalin materi di blog ini menggunakan Browser Google Chrome. Google Chrome
Bacalah terlebih dahulu Panduan Pengunjung jika anda ingin menggunakan materi dari blog ini.
DMCA.com

Masukkan Kata Kunci




Artikel Terkait :

Post a Comment

Berkomentarlah secara bijak. Komentar yang tidak sesuai materi akan dianggap sebagai SPAM dan akan dihapus.
Aturan Berkomentar :
1. Gunakan nama anda (jangan anonymous), jika ingin berinteraksi dengan pengelola blog ini.
2. Jangan meninggalkan link yang tidak ada kaitannya dengan materi artikel.
Terima kasih.